Shmei seic Uperbolik c GewmetrÐac. - PDF

Description
Shmei seic Uperbolik c GewmetrÐac. Shmei seic Paradìsewn Ntìnth AikaterÐnh Perieqìmena Oi basikoð q roi. 3. To uperbolikì epðpedo H sfaðra tou Riemann C

Please download to get full document.

View again

of 41
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Investor Relations

Publish on:

Views: 15 | Pages: 41

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
Shmei seic Uperbolik c GewmetrÐac. Shmei seic Paradìsewn Ntìnth AikaterÐnh Perieqìmena Oi basikoð q roi. 3. To uperbolikì epðpedo H sfaðra tou Riemann C To ìrio tou apeðrou tou H H genik omˆda twn Möbius.. H omˆda twn Möbius metasqhmatism n Idiìthtec metabatikìthtac twn Möb Taxinìmhsh twn Möbius metasqhmatism n Apeikìnish me pðnakec Anaklˆseic Diat rhsh tou H Idiìthtec metabatikìthtac sto Möb(H) M koc kai Apìstash sto H Monopˆtia kai stoiqeða tou Arc-length To stoiqeðo tou m kouc kampôlhc tou H MetrikoÐ q roi Kurtìthta. 57 PERIEQŸOMENA Kefˆlaio Oi basikoð q roi.. To uperbolikì epðpedo. O q roc mac eðnai to ˆnw hmiepðpedo uperbolikì epðpedo, sumbolðzoume H = {x C : Im(x) 0}. Orismìc.. Upˆrqoun dôo diaforetikoð tôpoi uperbolik n gramm n, oi opoðec orðzontai wc proc ta eukleðdeia antikeðmena tou C. O pr toc eðnai h tom tou H me tic eujeðec tou C kˆjetec sto R. O ˆlloc tôpoc eðnai h tom tou H me touc eukleðdeiouc kôklouc me kèntro sto R. Prìtash.. Gia kˆje zeôgoc diakrit n shmeðwn p, q tou H, upˆrqei monadik uperbolik gramm, èstw l, pou pernˆ apì ta p, q. Apìdeixh. DiakrÐnoume dôo peript seic.. Re(p) = Re(q). Tìte l = L H, ìpou L = {z C : Re(z) = Re(p)}. Parathr ste ìti h L eðnai EukleÐdeia eujeða kˆjeth sto R.. Re(p) Re(q). JewroÔme thn EukleÐdeia eujeða L pq pou pernˆei apì ta p kai q. H klðsh thc eðnai m = Im(q) Im(p) Re(q) Re(p). An t ra S eðnai h mesokˆjetoc sthn L pq, tìte h S èqei klðsh /m. 'Ara h exðswsh thc S eðnai h y = Re(p) Re(q) [x ] Im(q) Im(p) (Re(p) Re(q)), 3 4 KEFŸALAIO. OI BASIKOŸI QŸWROI. efìson pernˆ apì to shmeðo p+q. Me bˆsh ta parapˆnw, mporoôme na broôme thn exðswsh tou kôklou. Orismìc.. DÔo uperbolikèc eujeðec sto H lègontai parˆllhlec ìtan den tèmnontai. Je rhma.. An l eðnai mða uperbolik eujeða tou H kai p shmeðo tou H ektìc thc l, tìte upˆrqoun ˆpeirec diaforetikèc uperbolikèc eujeðec pou pernoôn apì to p kai eðnai parˆllhlec me thn l. Apìdeixh. DiakrÐnoume dôo peript seic.. H l eðnai tm ma eukleðdeiac gramm c tou C. Tìte, h L = {z H : Re(z) = Re(p)} eðnai parˆllhlh me thn l. Jewr shmeðo x sto R metaxô thc l kai L kai kataskeuˆzw EukleÐdeio kôklo me kèntro x pou pernˆ apì to p. 'Enac tètoioc kôkloc den tèmnei potè thn l kai to kommˆti tou kôklou pou an kei sto H eðnai uperbolik eujeða. Dedomènou ìti mpor na epilèxw ˆpeira tètoia x, èqw ˆpeirec tètoiec uperbolikèc grammèc.. H l eðnai kommˆti EukleÐdeiou kôklou C kai p / C. Gia na kataskeuˆsoume mða ˆllh uperbolik eujeða pou pernˆei apì to p kai eðnai parˆllhlh sthn l, paðrnoume èna shmeðo x ston R anˆmesa sta K kai L, kai è- stw A o EukleÐdeioc kôkloc me kèntro ston Re pou pernˆei apì ta x kai p. GnwrÐzoume ìti upˆrqei tètoioc EukleÐdeioc kôkloc A, epeid Re(x) Re(p). Apì thn kataskeu, o A qwrðzetai apì to L, kai ètsi h uperbolik eujeða H A qwrðzetai apì thn l. Autì shmaðnei ìti h H A eðnai mða deôterh uperbolik eujeða pou pernˆei apì to p kai eðnai parˆllhlh sthn l. Kaj c upˆrqoun ˆpeira shmeða ston R metaxô twn K kai L, h kataskeu aut mac dðnei ˆpeirec tètoiec uperbolikèc eujeðec pou pernoôn apì to p kai eðnai parˆllhlec sthn l. .. H SFAŸIRA TOU RIEMANN C. 5. H sfaðra tou Riemann C. 'Estw S o monadiaðoc kôkloc sto C. 'Estw ξ : S \ {i} R pou orðzetai wc ex c: to ξ(k) eðnai to shmeðo tom c thc eujeðac pou pernˆei apì ta i kai k me to R. H ξ lègetai stereografik probol. H ξ eðnai kalˆ orismènh, kai epð. Prˆgmati an ξ(x ) = ξ(x ) x = x, epeid apì dôo shmeða pernˆei monadik eujeða-eukleðdeia eujeða. 'Ara aut h eujeða èqei mða tom me to S. MporoÔme na broôme thn klðsh thc L k : H exðswsh thc eðnai: To m = Im(k). Re(k) y = Im(k) x. Re(k) ξ(k) = Re(k) Im(k) (h tom thc L k me thn y = 0). H stereografik probol orðzetai kai gia megalôterec diastˆseic, p.q. S \ { bìreioc pìloc} R. H stereografik probol mac lèei ìti mporoôme na doôme to R = (C) sa mða sfaðra S qwrðc èna shmeðo. To S = C { } = C lègetai sfaðra tou Riemann. An sto arqikì (ξ : S \ {i} R) sumperilˆbw to i, tìte kˆnw to q ro mou sumpag (sumpagopoðhsh), giatð ìlec oi eujeðec katal goun sto i. Sto C me thn EukleÐdeia metrik mporoôme na orðsoume anoiktˆ kai kleistˆ sônola wc ex c: Orismìc.3. 'Ena sônolo X C lègetai anoiktì an z X upˆrqei ϵ 0 ste h perioq U ϵ (z) := {y C : y z ϵ} X. Orismìc.4. 'Ena sônolo X C lègetai kleistì sto C an to C \ X eðnai anoiktì. Orismìc.5. 'Ena sônolo X C eðnai fragmèno an upˆrqei ϵ 0 ste X U ϵ (0). H eikìna tou R mazð me to eðnai ènac kôkloc sto C. MporoÔme na epekteðnoume thn topologða tou C sto C, arkeð na orðsoume anoiktèc perioqèc U ϵ (z), z C. 'Etsi, an z C èqoume U ϵ (z) = {y C : y z ϵ} kai U ϵ ( ) = {y C : y ϵ} { }. An ϵ mikrì, tìte h geitoniˆ tou eðnai megˆlh, (sqedìn ìloc o q roc) kai antðstrofa, an ϵ megˆlo h geitoniˆ mikr. 6 KEFŸALAIO. OI BASIKOŸI QŸWROI. Orismìc.6. 'Ena sônolo X eðnai anoiktì sto C an z X upˆrqei ϵ 0 ste h perioq U ϵ (z) X. Parˆdeigma.. To H eðnai anoiktì uposônolo tou C. Prˆgmati z C H epilègw ϵ me 0 ϵ Im(z). Tìte U ϵ (z) H. Parˆdeigma.. To E = {z C : z } C eðnai anoiktì uposônolo tou C. Prˆgmati to E anoiktì sto C, ˆra anoiktì kai sto C. Parˆdeigma.3. To D = {z C : z 000} { } {z C : z } eðnai anoiktì wc ènwsh anoikt n tou C. Autì diìti to {z C : z 000} { } eðnai anoikt perioq tou kai to {z C : z } eðnai o anoiktìc dðskoc. Prosoq! To monosônolo { } den eðnai anoiktì. H sôgklish sto C epekteðnei th sôgklish sto C. MÐa akoloujða {z n } n N sto C sugklðnei sto z C an ϵ 0, n 0 N ste z n U ϵ (z), n n 0. Sto C den epekteðnetai h metrik tou C, allˆ h topologða tou C. An paðrnw geitonièc gôrw apì to z, me mikrìtero ϵ kˆje forˆ kai upˆrqei mða akoloujða ˆpeirwn ìrwn pou suneqðzei na eðnai ekeð, tìte upˆrqei sôgklish sto z. Parˆdeigma.4. H /n me n N sugklðnei sto C. 'Otan den emplèketai to sumbaðnei ìti dh gnwrðzoume, dhlad /n 0. Parˆdeigma.5. To ìrio thc akoloujðac n me n N eðnai to Ðdio me to ìrio thc n me n N sto C. H n me n N sugklðnei sto ˆpeiro, n giatð ϵ 0 me n 0 ϵ to n U ϵ ( ). Parapèra an to n U ϵ ( ) tìte kai to n U ϵ ( ). Sto C = C { } akoloujðec, ìpwc a n = n b n = n, me n N sugklðnoun. Orismìc.7. 'Enac kôkloc tou C eðnai eðte ènac EukleÐdeioc kôkloc tou C, eðte ènwsh miac eujeðac tou C me to. 'Estw L mia eukleðdeia gramm L = L { } eðnai kôkloc tou C pou perièqei thn L. To R = R { }. To sônolo twn kôklwn tou C eðnai to sônolo twn lôsewn exis sewn tou C thc morf c: ìpou α, γ R, α 0, β C. αzz + βz + βz + γ = 0,. .. H SFAŸIRA TOU RIEMANN C. 7 An ˆrw ton periorismì α 0, tìte h exðswsh. gia α = 0 paðrnei th morf thc exðswshc thc eujeðac βz + βz + γ = 0. Dhlad, an α = 0, èqoume eujeða, an α 0, èqoume kôklo. To apoteleð lôsh thc parapˆnw exðswshc gia α = 0, lìgw sunèqeiac. Prˆgmati, èstw (z n ) n N akoloujða shmeðwn tou C, pou ikanopoioôn thn exðswsh βz+βz+γ = 0 kai z n. Jewr thn akoloujða w 0 +n(w w 0 ), n R, ìpou w 0, w lôseic thc exðswshc βz+βz+γ = 0. H akoloujða w 0 +n(w w 0 ) dðnei lôseic thc exðswshc oi opoðec teðnoun sto ˆpeiro. Autì den isqôei gia thn exðswsh αzz + βz + βz + γ = 0, ìtan α 0 kai z n. H exðswsh grˆfetai: kai èqoume α z + β α + γ β α = 0, lim (αz nz n + βz n + βz n + γ) = lim (α z + β z n z n α + γ β α ) =. 'Omwc, ja èprepe to parapˆnw ìrio na eðnai 0 lìgw sunèqeiac. mporeð na ikanopoieð thn exðswsh tou kôklou. To den Orismìc.8. Mia sunˆrthsh f : C C eðnai suneq c sto z C an ϵ 0, δ 0, ste kˆje w U δ (z) ikanopoieð thn f(w) U ϵ (f(z)). Dhlad, f(u δ (z)) U ϵ (f(z)). H f eðnai suneq c sto C an eðnai suneq c z C. Parˆdeigma.6. 'Estw h sunˆrthsh J : C C me /z, z C \ {0}, J(z) =, z = 0, 0, z =. H J eðnai suneq c sto C\{0}. Gia z = 0 kai ϵ = 5, U 5 ( ) = {z C : z 5}. An pˆrw δ = ϵ, tìte f(u δ(0)) U ϵ ( ), giatð an w /δ, tìte J(w) ϵ. 'Ara, h J eðnai suneq c sto 0. f(u δ ( )) U ϵ (0). Gia z =, an epilèxw to δ /ϵ, èqw Mia sunˆrthsh eðnai suneq c an kai mìno an sèbetai ta ìria twn akolouji n. H f : C C lègetai omoiomorfismìc, an h f eðnai, epð kai suneq c kai h f suneq c. H J eðnai omoiomorfismìc. 8 KEFŸALAIO. OI BASIKOŸI QŸWROI. Orismìc.9. To sônolo ìlwn twn omoiomorfism n f : C C, sumbolðzetai wc Homeo (C). Homeo (C) eðnai omˆda me prˆxh th sônjesh sunart sewn. To oudètero stoiqeðo eðnai h tautotik f(x) = x. To antðstrofo thc f eðnai h f..3 To ìrio tou apeðrou tou H. Orismìc.0. 'Enac dðskoc D tou C eðnai mia apì tic dôo sunektikèc sunist sec tou sumplhr matoc enìc kôklou tou C. An D eðnai ènac dðskoc tou C, tìte anaferìmaste ston kôklo A pou ton prosdiorðzei. ShmeÐwsh. Kˆje dðskoc prosdiorðzei monadikˆ ènan kôklo. Kˆje kôkloc den prosdiorðzei monadikˆ ènan dðsko. To H kajorðzetai (ìqi monadikˆ) apì to R. To R eðnai to sônoro tou H. To sônoro miac uperbolik c gramm c l tou H eðnai h tom tou kôklou tou C pou perièqei thn l me ton R. To sônoro, dhlad, thc l eðnai {0, }. Genikìtera, mporoôme na milˆme gia to sônolo uposunìlwn tou H. Sto H èqoume dôo kathgorðec parˆllhlwn gramm n:. Autèc pou proèrqontai apì kôklouc tou C pou tèmnontai, ektìc H kai. Autèc pou proèrqontai apì kôklouc tou C pou den tèmnontai. Oi teleutaðec lègontai ultraparallel. Prìtash.. 'Estw p H kai q R, tìte upˆrqei monadik uperbolik gramm pou pernˆei apì ta p, q. Apìdeixh. DiakrÐnoume dôo peript seic.. Re(p) Re(q) Tìte qrhsimopoioôme thn parakˆtw, gnwst apì thn EukleÐdeia gewmetrða, kataskeu. Fèrnoume th mesokˆjeto tou eujôgrammou tm matoc pou orðzoun ta p, q, h opoða tèmnei ton R sto shmeðo m. O kôkloc me kèntro m kai aktðna thn apìstash twn m, q pernˆ apì to shmeðo p kai orðzei monadik uperbolik eujeða metaxô twn dôo shmeðwn p, q. .3. TO ŸORIO TOU APEŸIROU TOU H. 9. Re(p) = Re(q) Tìte h monadik uperbolik eujeða pou pernˆei apì ta p, q eðnai h: L = {z H : Re(z) = Re(p)}. An to q =, tìte qrhsimopoioôme xanˆ thn L. To kommˆti thc parapˆnw gramm c me arqikì shmeðo to p H kai telikì to q R lègetai uperbolik aktðna. 0 KEFŸALAIO. OI BASIKOŸI QŸWROI. Kefˆlaio H genik omˆda twn Möbius.. H omˆda twn Möbius metasqhmatism n. 'Estw Homeo C (C) to sônolo ìlwn twn omoiomorfism n tou C pou diathroôn touc kôklouc tou C. 'Eqoume: Homeo C (C) = {f Homeo(C) A kôklo tou C to f(a) kôkloc}. Prìtash.3. To stoiqeðo f tou Homeo(C) me f(z) = pz + q, ìpou p 0, p, q C eðnai kai stoiqeðo tou Homeo C (C). Apìdeixh. Xèroume ìti oi kôkloi tou C dðnontai apì thn exðswsh: αzz + βz + βz + γ = 0, α, γ R kai β C.. PerÐptwsh α = 0 O kôkloc A èqei exðswsh βz + βz + γ = 0, β C, γ R.. H exðswsh thc f(a) eðnai: f(βz + βz + γ) = f(0) (.) p(βz + βz + γ) + q = q (.) p(βz + βz + γ) = 0 (.3) βz + βz + γ = 0, (.4) (.5) KEFŸALAIO. H GENIKŸH OMŸADA TWN MÖBIUS. gia p 0. Diaforetikˆ jètw w = pz + q, opìte z = (w q)/p. Antikajist to z sthn exðswsh. ki èqw: β w q p + β w q p + γ = β p w + β p w β p q β p q + γ. EÐnai profanèc ìti èqoume kai pˆli exðswsh kôklou.. Genik perðptwsh Antikajist ntac to z = (w q)/p kai kˆnontac tic prˆxeic, prokôptei ìti: α pp (w q)(w q) + β p (w q) + β (w q) + γ = 0(.6) p α p w q + β p (w q) + β (w q) + γ = 0(.7) p α p w + βp α q βp α + βw p βq p + βw p βq p + γ = 0(.8) α p w + βp α q + γ β α = 0. 'Ara, ìla ta prwtobˆjmia polu numa phgaðnoun kôklouc se kôklouc. Prìtash.4. H /z, z C \ {0}, J(z) =, z = 0, 0, z =. eðnai stoiqeðo tou Homeo C (C). Apìdeixh. H... gia z = /w dðnei: α w w + β w + β w + γ = 0 α + βw + βwγww = 0. To teleutaðo apoteleð exðswsh kôklou. .. H OMŸADA TWN MÖBIUS METASQHMATISMŸWN. 3 Parˆdeigma.7. 'Estw A o kôkloc me exðswsh z + z + 3 = 0. Tìte o J(A) èqei exðswsh w + w + 3ww = 0. Epomènwc, kˆje stoiqeðo thc morf c f J f J... J f J f... eðnai stoiqeðo tou Homeo C (C). 'Eqoume ìti f J(z) = f( z ) = p z + q = qz + p, p 0, z J f(z) = J(pz + q) = pz + q, p 0, f J f(z) = f( pz + q ) = p pz + q + q = qpz + (p + q ), p 0, pz + q f J f (z) = f ( ) = p +q = q p z + p + q q, p, p 0. p z + q p z + q p z + q Orismìc.. 'Enac metasqhmatismìc Möbius, eðnai mia sunˆrthsh m : C C me m(z) = (αz + β)/(γz + δ), ìpou α, β, γ, δ C kai αδ βγ 0. To sônolo ìlwn twn metasqhmatism n Möbius, sumbolðzetai me Mob +. To m( ) upologðzetai wc ex c: αz + β m( ) = lim z γz + δ = lim α + β z z γ + δ z = α γ, γ 0. Gia γ = 0, m( ) =. To m(0) = β/δ, an δ 0 kai m(0) =, an δ = 0, β 0. H perðptwsh β = δ = 0 apokleðetai, giatð αδ βγ 0. Prìtash.5. To sônolo Mob + eðnai omˆda me prˆxh th sônjesh apeikonðsewn. Apìdeixh. Gia m (z) = (α z +β )/(γ z +δ ), kai m (z) = (α z +β )/(γ z + δ ), ìpou α δ β γ 0 kai α δ β γ 0, èqoume ìti ìpou m (m (z)) = α ( α z+β γ z+δ ) + β γ ( α z+β = α α z + α β + β γ z + δ β γ z+δ ) + δ γ α z + γ β + δ γ z + δ δ (α α + β γ )z + α β + δ β (γ α + δ γ )z + γ β + δ δ, (α α + β γ )(γ β + δ δ ) (α β + δ β )(γ α + δ γ ) 0. Parapèra, m(z) = z = (z + 0)/(0z + ) Mob +. Je rhma.. 'Estw Möbius, metasqhmatismìc m(z) = (αz +β)/(γz +δ), ìpou α, β, γ, δ C kai αδ βγ 0. 4 KEFŸALAIO. H GENIKŸH OMŸADA TWN MÖBIUS.. An γ = 0, tìte m(z) = α δ z + β δ.. An γ 0, tìte m(z) = f(j(g(z))), ìpou g(z) = γ z + γδ, f(z) = (αδ βγ)z + α/z, z C kai f( ) = = g( ). Apìdeixh. An γ = 0, den èqw na deðxw tðpota. An γ 0, tìte m(z) = αz + β γz + δ = αγz + βγ γ z + δγ = αγz + αδ (αδ βγ) γ z + δγ = α γ αδ βγ γ z + δγ = f(j(g(z))). Pìrisma.. Mob + Homeo C (C). Orismìc.. 'Estw g : C C ènac omoiomorfismìc. 'Ena stajerì shmeðo tou g eðnai èna shmeðo z C tètoio ste g(z) = z. To er thma pou prokôptei aforˆ sta stajerˆ shmeða twn Möbius metasqhmatism n.. An γ = 0, tìte m(z) = α δ z + β δ. Upojètoume ìti o m den eðnai h tautotik apeikìnish. H exðswsh m(z) = z α δ z + β δ = z z(a δ ) = β δ. An α/δ =, tìte h exðswsh eðnai adônath, opìte o m den èqei kanèna stajerì shmeðo. Autì eðnai profanèc, giatð an α = δ m(z) = z + β/δ β 0, ˆra to β/δ 0. An α/δ, tìte z = β δ, α δ δ ki h m(z) èqei akrib c èna stajerì shmeðo (upì thn proôpìjesh ìti den eðnai h tautotik ). .. IDIŸOTHTES METABATIKŸOTHTAS TWN MÖB+. 5. An γ 0, tìte m(z) = z αz + β γz + δ = z αz+β = γz +δz γz +(δ α)z β = 0. H exðswsh aut eðte èqei mia dipl rðza, eðte èqei dôo rðzec sto C. Je rhma.3. 'Estw m(z) ènac Möbius metasqhmatismìc me 3 stajerˆ shmeða sto C. Tìte m(z) = z. Parˆdeigma.8. BreÐte ta stajerˆ shmeða thc J(z) = /z. EÐmaste sthn perðptwsh ìpou γ 0. LÔnoume thn /z = z z = ±.. Idiìthtec metabatikìthtac twn Möb +. MÐa apì tic basikèc idiìthtec twn Möb + eðnai ìti droun monadikˆ, triplˆ metabatikˆ ston C. Me autì, ennooôme pwc dojèntwn dôo triˆdwn shmeðwn (z, z, z 3 ) kai (w, w, w 3 ) apì diakritˆ shmeða tou C, upˆrqei èna monadikì stoiqeðo m twn Möb + tètoio ste m(z ) = w, m(z ) = w, m(z 3 ) = w 3. Prìtash.6. Oi Möbius metasqhmatismoð droun monadikˆ metabatikˆ stic diakritèc triˆdec tou C. Dhlad, an (z, z, z 3 ), (w, w, w 3 ) dôo diakritèc triˆdec tou C, tìte upˆrqei monadikìc Möbius metasqhmatismìc m ste m(z i ) = w i, i =,, 3. Ousiastikˆ, dedomènou ìti mða triˆda diakrit n shmeðwn orðzei monadikˆ èna kôklo, h parapˆnw idiìthta deðqnei ìti upˆrqei Möbius metasqhmatismìc pou na stèlnei ton kôklo se opoiond pote ˆllo. Apìdeixh. Ja deðxw pr ta th monadikìthta. 'Estw ìti upˆrqoun dôo Möbius metasqhmatismoð m, m me m i (z j ) = w j, j =,, 3, i =,. Tìte m (z j ) = w j m (z j ) = m (z j ) m m (z j ) = z j, j =,, 3, dhladh m m eðnai o tautotikìc, diìti èqei trða stajerˆ shmeða, opìte m = m. Ja deðxoume sth sunèqeia ìti gia kˆje diakrit triˆda (z, z, z 3 ), upˆrqei monadikìc Möbius metasqhmatismìc m, ste: (z, z, z 3 ) m (0,, ). JewroÔme m(z) = (z z )(z z 3 ) (z z 3 )(z z ). 6 KEFŸALAIO. H GENIKŸH OMŸADA TWN MÖBIUS. 'Eqoume ìti m(z ) = 0, m(z ) =, m(z 3 ) =. Exetˆzw an o m eðnai Möbius metasqhmatismìc: EpÐshc, prèpei na elègxw to ex c m(z) = (z z 3 )z (z z 3 )z (z z )z (z z )z 3. (z z 3 )( z 3 (z z )) (z z )( z (z z 3 )) = z 3 (z z 3 )(z z ) + z (z z )(z z 3 ) = (z z )(z z 3 )(z z 3 ) 0. 'Ara, m(z) eðnai Möbius metasqhmatismìc. An (z, z, z 3 ), (w, w, w 3 ) dôo diakritèc triˆdec, tìte m (z, z, z 3 ) = (0,, ) = m (w, w, w 3 ) m m (z, z, z 3 ) = (w, w, w 3 ). Parˆdeigma.9. Na upologisteð o m pou phgaðnei thn (i, + i, 3) sthn (0, + i, 4). O m (z) = (z i)( + i 3) ( + i)z + + 4i = (z 3)( + i i) ( i)z 3 + 3i, phgaðnei thn (i, + i, 3) sthn (0,, ), kai o m (z) = z( + i 4) (z 4)( + i) = ( + i)z ( + i)z 8 8i, phgaðnei thn (0, + i, 4) sthn (0,, ). Telikˆ, m (4 + 8i)z i m (z) = (6 + 6i)z + 4 4i. Orismìc.3. Mia omˆda G dra se èna sônolo X an upˆrqei omomorfismìc G S X ìpou S X = { sônolo ìlwn twn kai epð apeikonðsewn X X}. Dra, shmaðnei ìti kˆje stoiqeðo thc omˆdac antistoiqðzetai se mia metˆjesh tou X. Mia drˆsh tou G sto x lègetai metabatik an x, y X, upˆrqei g G, ste gx = y. An h drˆsh eðnai h G ϕ S X, tìte to (ϕ(g))(x) eðnai ex' orismoô to p c dra èna stoiqeðo thc G se èna stoiqeðo tou X. Aplopoi ntac to sumbolismì grˆfoume gx gia to (ϕ(g))(x). 'Etsi (ϕ(g g ))(x) = (ϕ(g ) ϕ(g ))(x) = ϕ(g )(ϕ(g ))(x). Idiìthtec thc drˆshc eðnai ìti (g g )x = g (g )x kai x = x. .. IDIŸOTHTES METABATIKŸOTHTAS TWN MÖB+. 7 Pìrisma.. H Mob + dra monadikˆ metabatikˆ sto sônolo twn diakekrimènwn triˆdwn tou C. Pìrisma.3. H Mob + dra metabatikˆ sto sônolo twn kôklwn tou C. Apìdeixh. Mia triˆda diakrit n shmeðwn tou C orðzei monadikˆ ènan kôklo tou C.. An ta trða shmeða den eðnai suggrammikˆ, h kataskeu eðnai gnwst.. An ta shmeða eðnai suggrammikˆ, tìte arkeð na pˆroume sto C thn eujeða pou orðzetai apì ta trða shmeða. Sto C aut eðnai kôkloc. 3. An ta dôo shmeða eðnai sto C kai to trðto eðnai sto, h eujeða tou C pou pernˆ apì ta dôo shmeða sto C eðnai kôkloc pou pernˆei apì to. To sumpèrasma bgaðnei apì to Pìrisma... ShmeÐwsh. To antðstrofo den isqôei! GiatÐ ènac kôkloc den orðzetai apì mia triˆda, allˆ apì ˆpeirec triˆdec. S' aut thn perðptwsh, h monadikìthta den isqôei. Me ˆlla lìgia upˆrqoun polloð Möbius, metasqhmatismoð pou phgaðnoun ènan kôklo se èna ˆllo. 'Ara, oi Mob + de droun monadikˆ metabatikˆ sto sônolo twn kôklwn tou C, diìti kˆje kôkloc orðzetai apì ˆpeirec diaforetikèc triˆdec. Pìrisma.4. Oi Mob + droun metabatikˆ stouc dðskouc tou C. Apìdeixh. 'Estw D kai E dôo dðskoi sto C, ìpou o D prosdiorðzetai apì ton kôklo C D sto C kai o E prosdiorðzetai apì ton kôklo C E sto C. Kaj c oi Möb + droun metabatikˆ sto sônolo C kôklwn sto C, upˆrqei ènac Möbius metasqhmatismìc m pou ikanopoieð th sqèsh m(c D ) = C E kai ètsi o m(d) eðnai ènac dðskoc pou prosdiorðzetai apì ton C E. Wstìso, upˆrqoun dôo dðskoi pou prosdiorðzontai apì ton C E kai den upˆrqei trìpoc na gnwrðzoume an m(d) = E o m(d) eðnai o ˆlloc dðskoc pou prosdiorðzetai apì ton C E. Eˆn m(d) = E, èqoume telei sei. Eˆn m(d) E, prèpei na broôme ènan Möbius metasqhmatismì pou na phgaðnei ton C E ston eautì tou kai na antallˆsei touc dôo dðskouc pou prosdiorðzontai apì ton C E. H kataskeu aut den eðnai idiaðtera dôskolh. Arqikˆ ergazìmaste me ènan kôklo sto C pou mporoôme na katalˆboume, kai sth sunèqeia qrhsimopoioôme th meta
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks