Dominio di f ed eventuali simmetrie: Il dominio di f è definito dall insieme degli x R che verificano le condizioni:

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Studi di funzione 5) Studiare la funzione definita da f() = arcsin ( ) Dominio di f ed eventuali simmetrie: Il dominio di f è definito dall insieme degli R che verificano le condizioni: () : +,

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Studi di funzione 5) Studiare la funzione definita da f() = arcsin ( ) Dominio di f ed eventuali simmetrie: Il dominio di f è definito dall insieme degli R che verificano le condizioni: () : +, (2) : +, (3) : + 0, (4) : Risolviamo la disequazione () () Poiché deve valere (4), le soluzioni della disequazione () che interessano sono soltanto gli R tali che + 0 . Per quanto riguarda la (2), si ha: (2) . Si trova, infine, che: (3) e (4) 2. Dai conti precedenti si conclude pertanto che il dominio è costituito da dom f := [ 2, + [. La funzione f non è pari né dispari, ed è continua nel suo dominio. 2 Limiti di f agli estremi del dominio ed eventuali asintoti: Nel proprio dominio, la funzione f è continua. L unico ite da calcolare è quello a +. Si trova: f() = ( ) arcsin 2 + =. + 3 Verifichiamo l eventuale presenza di asintoto obliquo a +, calcolando il. Si trova: f() = f() ( arcsin + ) = 0. Questo indica che la funzione non ammette asintoto obliquo a +. Derivabilità di f e intervalli di monotonia: Studiamo ora la derivabilità di f. In conseguenza dei teoremi generali sul calcolo delle derivate, f è certamente derivabile in tutti i punti dom f per cui + e 2 + 0, 3 ovvero i punti dell intervallo ] 2, + [. In questi punti si calcola (usando le note formule di derivazione): f () = ( + ) 2 + ( + ) = = = 2+ (+) ( + ) ( + ). ( + ) Studiamo il segno della derivata prima di f nell intervallo ] 2 [, +. Poichè per si ha ( + ) 0, risulta che f () Se ne deduce che. f è monotona crescente in ] 2, 2 [ 2. f è monotona decrescente in ]2, + [. In particolare, in f ha un punto di massimo (assoluto) in = 2. Per quanto riguarda l esistenza della derivata prima (destra) in = 2, poiché f è continua in = 2, calcoliamo il ite destro di f in =. Si trova 2 che: 2 f () = ( + ) = +. Questo significa che il grafico della funzione f arriva nel punto ( 2, f( 2 )) con retta tangente verticale (cioè la retta = 2 ). Derivata seconda di f e concavità/convessità: Senza bisogno di calcolare esplicitamente la derivata seconda 5 di f, si evidenzia l esistenza di un punto di flesso (a tangente obliqua) a destra del punto di massimo = 2. Questo è deducibile dal fatto che = 2 è un punto di massimo relativo (assoluto) per f, con f (2) = 0 (cioè la retta tangente al grafico della funzione nel punto (2, f(2)) è orizzontale), f decresce in [2, + [ e f () = ( + ) = 0 (ovvero la retta tangente al grafico della funzione nel generico punto (, f()) tende a diventare parallela all asse delle ascisse, al crescere di. Questo indica cha la funzione, concava in un intorno di = 2, deve necessariamente diventare convessa per sufficientemente grande; perció nell intervallo ]2, + [ deve esistere un punto di flesso per f. La retta tangente al punto di flesso dovrà essere obliqua, in quanto = 2 è il solo punto stazionario di f. 6 6) Studiare la funzione definita da f() = ( 2 π ) arctan Dominio di f ed eventuali simmetrie: Si trova subito che dom f = { R : 0} =], 0[ ]0, + [. La funzione f non è pari né dispari. Limiti di f agli estremi del dominio ed eventuali asintoti: Si calcola f() = ( 2 π 2 ) 2 + = 0 arctan y = 0 asintoto orizzontale sinistro (a ) ( f() = 2 π ) 2 + = + 0 ± 0 ± 2 arctan 7 = 0 asintoto verticale ( f() = 2 π ) 2 + = 2 2 arctan y = 2 asintoto orizzontale destro Derivabilità di f e intervalli di monotonia: f è derivabile nel suo dominio (cioè dom f = dom f) e f () = 2 = ( 2 π 2 ( 2 π 2 arctan ) arctan Nel dominio di f si ha: f () 0 2 π 2 ) ( π ) 2 (arctan ) 2 π (arctan ) 2 ( + 2 ). + 2 arctan 0 arctan 4 π. Si trova allora che { f arctan 0 () 0 arctan π 4 8 oppure { arctan 0 arctan π 4 Quindi f () 0 0 oppure. quindi:. f crescente in ], 0[ ], + [; 2. f decrescente in ]0, [; 3. = punto di minimo relativo di f ( = è punto di minimo assoluto, dato che f() = = min f). Derivata seconda di f e concavità/convessità: Senza bisogno di calcolare esplicitamente la derivata seconda di f, si osserva che la funzione deve ammettere un punto di flesso a destra di =, in quanto = è punto di minimo relativo per f, con f () = 0, la funzione è crescente in [, + [ e ha un asintoto orizzontale a +. Questo indica cha la funzione, convessa in un intorno di =, deve necessariamente diventare concava per sufficientemente grande; perció nell intervallo ], + [ deve esistere un punto di flesso per 9 f. La retta tangente al punto di flesso dovrà essere obliqua, in quanto = è il solo punto stazionario di f. 0 7) Studiare la funzione definita da f() = 3 2. Dominio di f ed eventuali simmetrie: Si trova subito che dom f = R \ {0} =], 0[ ]0, + [. La funzione f non è pari né dispari. Dalla definizione di modulo, si ha che per dom f: f() = 3 2, se , 3 2, se. La funzione f è continua nel suo dominio. Limiti di f agli estremi del dominio ed eventuali asintoti: Si calcola f() = 3 2 = + 0 f() = = + = 0 asintoto verticale f() = 3 2 = +. Verifichiamo l eventuale presenza di asintoto obliquo a +, calcolando il. Si trova: f() = Quindi, calcoliamo f() 3 3 = 3 3 =. f() = 3 2 = 3 2 = = 2 = 0. I iti precedenti indicano che la retta y = è asintoto obliquo a + per f. Analogamente, si trova che f() = 3 3 = 3 3 =. e f() + = 0, da cui risulta che la retta y = è asintoto obliquo a per f. Derivabilità di f e intervalli di monotonia: dai teoremi generali sul calcolo delle derivate, risulta che f è certamente derivabile in ogni punto dom f per cui e, usando le note formule di derivazione, si calcola: f () = ( 3 ) 2 4 = 2 3, se , ( 3 ) 2 4 = + 2 3, se . 3 Derivabilità di f in = : Poichè la funzione f è continua in dom f e derivabile in dom f \ {}, possiamo controllare la derivabilità di f in = calcolando il f (). Si trova: f () = 2 3 = 3, f () = = 3, da cui si deduce che = è un punto angoloso per f (con f () = 3 e f +() = 3). Per quanto riguarda il segno della derivata prima di f, si trova allora che: Per : f () = 0 Per : f () 0 4 Quindi f () 0 oppure . quindi:. f crescente in ] 3 2, 0[ ], + [; 2. f decrescente in ], 3 2[ ]0, [; 3. = 3 2 è un punto di minimo relativo per f; 3. = punto di minimo relativo per f ( = è anche punto di minimo assoluto, dato che f() = 0 = min f). Derivata seconda di f e concavità/convessità: dom f \ {} si calcola direttamente = 6 4, se f () = = 6 4, se . per 5 Lo studio del segno di f è evidente e, da questo, si ricava che. f è convessa in ], 0[ ]0, [, 2. f è concava in ], + [. 6 8) Studiare la funzione definita da f() = + 2 log( + 2). Osserviamo anzitutto che f si ottiene traslando di 2, nella direzione negativa dell asse, la funzione g() = log cioè abbiamo f() = g( + 2). Possiamo pertanto concentrarci sullo studio della funzione g, deducendo da esso il comportamento di f. Abbiamo: dom g = { R : 0 e log 0} =]0, [ ], + [. La funzione non è pari né dispari. La funzione g è continua nel suo dominio. 7 Dalla definizione di modulo, si ha che: g() = log, se 0 , log, se . Limiti di g agli estremi del domino: g() = g() = log = 0. log = + = asintoto verticale. log = +. Verifichiamo l eventuale presenza di asintoto obliquo a + per g, calcolando il g() = 8 g(). Si trova: log = 0. Questo indica che la funzione non ammette asintoto obliquo a +. Studiamo ora la derivabilità di g. In conseguenza dei teoremi sul calcolo delle derivate, g è derivabile nel suo dominio e la sua derivata prima è g () = log log 2 log log 2, se . = log log 2, se 0 , Per quanto riguarda il segno di g, abbiamo: Per 0 g () 0 log log 2 0 log e. 9 Per : g () 0 log log 2 0 e. Quindi abbiamo che g è. crescente in ]0, [ ]e, + [ 2. decrescente in ], e[. In particolare, in = e g ha un punto di minimo relativo (non assoluto, perchè g(e) = e e 0 g() = 0). Calcoliamo la derivata seconda di g e studiamone il segno, al fine di determinare gli intervalli di concavità/convessità di g. In ]0, + [, g è derivabile. Per 0 si calcola: g () = log2 (log ) 2 log log 4 = 2 log log 3. 20 Procedendo analogamente nel caso , in definitiva si trova: 2 log log 3, 0 g () = 2 log log 3, . Per quanto riguarda il segno di g, si trova: Per 0 : g () 0 2 log log log log log 0 e 2. Per : g () 0 2 log log log 0 e 2. 2 Se ne deduce che. g è convessa in ]0, [ ], e 2 [; 2. concava in ]e 2, + [. In = e 2, g ha un p.to di flesso (a tangente obliqua). Poichè f() = g( + 2), il grafico di f si può ottenere traslando di 2 il grafico di g nella direzione negativa dell asse delle ascisse. 22
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