UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Apuntes para la asignatura: Cálculo III – 521277

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Apuntes para la asignatura: Cálculo III – 521277

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  UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E  INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Apuntes para la asignatura: Cálculo III – 521277 Prof. Jorge Ruiz Castillo Mayo de 2010  INDICECapítulo 1: Cálculo diferencialSección página1.1 Espacio euclidiano  n  - dimensional 31.2 Límite y continuidad 61.3 Diferenciación 111.3.1 Derivadas parciales 111.3.2 La diferencial 151.3.3 Propiedades de funciones diferenciables y ejemplos 171.3.4 Funciones diferenciables de  R m en  R n 191.3.5 propiedades de funciones diferenciables 201.3.6 Matriz Jacobiana 211.3.7 Regla de la cadena 211.3.8 Derivadas direccionales 231.4 Aplicaciones 26Capítulo 2: Extremos de funciones con valores realesSección página2.1 Máximos y Mínimos 332.2 El teorema de Taylor 352.3 Criterio de la segunda derivada 352.4 Repaso de Formas cuadráticas 362.5 La matriz Hessiana 372.6 Multiplicadores de Lagrange 38Capítulo 3: Integrales dependientes de un parámetroSección página3.1 Regla de Leibniz 413.2 Integrales impropias dependientes de un parámetro 45Capítulo : IntegraciónSección página4.1 Introducción 494.2 La integral de Riemann sobre un rectángulo 524.3 Integrales sobre conjuntos acotados de  R n 554.4 Cambio de variables 574.5 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 584.6 Integrales múltiples impropias 60Capítulo 5: Calculo vectorialSección página5.1 Integrales de línea 645.1.1 Introducción 645.1.2 Longitud de arco 665.1.3 Integrales sobre campos vectoriales 661  5.1.4 Integrales de línea sobre campos escalares 685.1.5 otras aplicaciones de la integral de línea 695.1.6 Independencia de la trayectoria 705.1.7 Teorema de Green 745.2 integrales de super…cie 775.2.1 Super…cies en  R n 775.2.2 Integrales de super…cie 815.2.3 Teorema de Gauss. Teorema de Stokes 852  UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONDEPARTAMENTO DE MATEMATICAProf. Jorge Ruiz Castillo 1 CALCULO DIFERENCIAL 1.1 ESPACIO EUCLIDIANO n-DIMENSIONAL Recordemos que  R n está provisto de dos operaciones + : R n  R n ! R n ; ( x;y )  x + y  y   : R  R n ! R n ; ( ;x )  x ,donde: ( x 1 ;x 2 ;::::::;x n ) + ( y 1 ;y 2 ;::::::;y n ) = ( x 1  + y 1 ;x 2  + y 2 ;::::::;x n  + y n ) ,y  ( x 1 ;x 2 ;::::::;x n ) = ( x 1 ;x 2 ;::::::;x n )( R n ; + ;  )  es un espacio vectorial real.Nociones topológicas en  R n El producto interior en  R n está de…nido por:   :  R n  R n ! R n ;x  y  = n X i =1 x i y i , donde  x  = ( x 1 ;x 2 ;::::::;x n ) y  = ( y 1 ;y 2 ;::::::;y n ) Este producto interior en  R n satisface las siguientes propiedades1.  ( 8 x 2 R n ) x  x  0 2.  ( 8 x 2 R n ) x  x  = 0 , x  =   3.  ( 8 x;y;z  2 R n )( 8 ;   2 R )( x + y )  z  =   ( x  z ) +   ( y  z ) 4.  ( 8 x;y  2 R n ) x  y  =  y  x 5.  ( 8 x 2 R n ) x    = 0 .La norma en  R n está de…nida por:   : R n ! R ; k x k = p  x  x Si  x  = ( x 1 ;x 2 ;::::::;x n ) , entonces  k x k = p  x 21  + x 22  + :::::: + x 2 n Algunas propiedades de la ”norma” son las siguientes:3  1.  ( 8 x 2 R n ) k x k 0 2.  ( 8 x 2 R n ) k x k = 0 , x  =   3.  ( 8 x 2 R n )( 8  2 R ) k x k = j  jk x k 4.  ( 8 x;y  2 R n ) k x + y kk x k + k y k  (desigualdad triangular)5.  ( 8 x;y  2 R n ) j x  y jk x kk y k  (desigualdad de Cauchy-Schwarz).La distancia en  R n está de…nida por: d  : R n  R n ! R ;d ( x;y ) = k x  y k Si  x  = ( x 1 ;x 2 ;::::::;x n ) ;y  = ( y 1 ;y 2 ;::::::;y n ) , entonces d ( x;y ) = q ( x 1  y 1 ) 2 + ( x 2  y 2 ) 2 + :::::: + ( x n  y n ) 2 Entre sus propiedades podemos mencionar:1.  ( 8 x;y  2 R n ) d ( x;y )  0 2.  ( 8 x;y  2 R n ) d ( x;y ) =  d ( y;x ) 3.  ( 8 x;y  2 R n ) d ( x;y ) = 0 , x  =  y 4.  ( 8 x;y  2 R n ) d ( x;z )  d ( x;y ) + d ( y;z )  (desigualdad triangular).De…nición.- Sean  x 0  2  R n y  r >  0 . Llamamos bola abierta con centro en  x 0  y-radio  r  al conjunto  B ( x 0 ;r ) = f x 2 R n : k x  x 0 k < r g En  R 2 ,  B ( x 0 ;r )  es una circunferencia con centro en  x 0  y radio  r .En  R 3 ,  B ( x 0 ;r )  es una esfera con centro en  x 0  y radio  r .De…nición.- Sean  G  R n y  x 0  2 R n . Diremos que:a)  x 0  es un punto interior de  G  si existe  r >  0  tal que  B ( x 0 ;r )  G .Notación.-  int ( G )  o  G o es el conjunto de los puntos interiores de  G  (inte-rior de  G ).b)  x 0  es un punto adherente de  G  si  ( 8 r >  0) B ( x 0 ;r ) \ G 6 =   Notación.-  adh ( G )  o  G  es el conjunto de los puntos adherentes a  G  (adh-ernecia o clausura de  G ).c)  x 0  es un punto de acumulación de  G  si  ( 8 r >  0) B ( x 0 ;r ) \ G f x 0 g6 =   d)  x 0  es un punto de frontera de  G  si es un punto adherente a  G  y al com-plemento de  G .4
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