Torsione nello spaziotempo e teoria di Einstein-Cartan

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Alma Mater Studiorum Università di Bologna Scuola di Scienze Dipartimento di Fisica e Astronomia Corso di Laurea in Fisica Torsione nello spaziotempo e teoria di Einstein-Cartan Relatore: Prof./Dott. Alexandr

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Alma Mater Studiorum Università di Bologna Scuola di Scienze Dipartimento di Fisica e Astronomia Corso di Laurea in Fisica Torsione nello spaziotempo e teoria di Einstein-Cartan Relatore: Prof./Dott. Alexandr Kamenchtchik Presentata da: Angelo Cosentino Anno Accademico 2016/2017 2 A mamma e papà che hanno permesso tutto questo. Alle mie sorelle e a mia nipote che mi hanno sopportato. 3 Sommario Lo scopo primario del presente lavoro è quello di conferire allo spazio fisico una nuova proprietà geometrica: la torsione. La mia idea per presentare gli argomenti trattati è quella di tentare di proseguire il lavoro di Albert Einstein della teoria della relatività generale ed estendere i suoi principi geometrici anche al mondo microscopico. Sfrutterò quindi appieno la sua geometrizzazione della teoria della gravitazione universale e mostrerò come aggiungere a quest ultima la presenza del tensore di torsione rappresenti solo una leggera modifica alla teoria che nella forma rimane analoga a quella originale. Ciò da cui si discosta è certamente il contenuto; la torsione, che inizialmente è considerata una proprietà geometrica aggiuntiva dello spaziotempo sarà quanto prima caratterizzata fisicamente attraverso il legame con una proprietà quantomeccanica intrinseca della materia: lo spin. Questo è ciò che conferisce forza e interesse alla teoria di Einstein-Cartan. Studiare la Meccanica Quantistica e la Relatività Generale lascia senza dubbio una sensazione di disorientamento. Entrambe le teorie rappresentano due monumenti dedicati all intelletto umano ma appare chiaro che ci descrivano un mondo macroscopico e uno microscopico separati sul nascere e senza apparenti legami. La relatività di Einstein si manifesta curvando lo spaziotempo altrimenti piatto e rappresenta una teoria prettamente macroscopica. Nel mondo microscopico invece si descrivono le interazioni secondo le teorie di campo quantizzato che descrivono ogni costituente elementare della materia come un campo immerso all interno dello spaziotempo piatto di Minkowski. Unire questi due mondi rappresenta uno scopo primario per quella moltitudine di fisici che si sente sconfortata da questa situazione precaria. Grazie a questa nuova proprietà geometrica si può effettuare un primo passo in avanti, verso una teoria unificata. Infatti introdurre la torsione vuole significare applicare la relatività generale al mondo microscopico e non c è modo migliore di farlo se non quello di considerare, assieme alla massa, lo spin dei costituenti elementari. Per raggiungere i miei scopi presenterò un capitolo introduttivo in cui verrà ripercorso il cammino che ha portato Einstein alla teoria della relatività generale in modo qualitativo poiché la mia attenzione riguarderà l evoluzione della struttura geometrica dello spazio fisico. Nel secondo capitolo proverò a motivare la necessità di proseguire ulteriormente quel cammino e studiare quindi la teoria di Einstein-Cartan. Segue poi un capitolo di strumenti matematici, in particolare di geometria differenziale, necessari per poter studiare nel profondo la nuova geometria dello spaziotempo e la teoria nascente nel capitolo 4 in cui sono formulate le equazioni di campo necessarie per comprendere meglio ciò in cui ci stiamo addentrando. Per la loro formulazione sarà seguito un approccio di tipo variazionale. Tali equazioni saranno poi discusse nel capitolo successivo in cui si vuole immediatamente mostrare come la teoria di Einstein-Cartan rappresenti una piccola modifica della teoria di Einstein seppur con predizioni nuove e interessanti. Nello stesso capitolo verrà stimato e discusso il dominio di validità dei risultati ottenuti e verrano presentati dei riferimenti in cui vengono discusse nel dettaglio altre importanti conseguenze della teoria, specialmente in ambito cosmologico. Segue infine un capitolo conclusivo in cui si vuole ripercorrere quanto fatto e si vuole anche mostrare quanto ancora ci sia da fare. Indice 1 Introduzione Introduzione alla Relatività Da Spazio e Tempo a Spaziotempo metrico Teoria della Relatività Generale Lo Spaziotempo di Riemann-Cartan Perché una nuova teoria Spin e gravitazione Utilità di Geometria Differenziale Varietà differenziali Curve Funzioni Vettori e campi vettoriali Uno-forme Tensori e campi tensoriali Tensore metrico Forma canonica e base ortonormale Densità tensoriali P-forme Notazione astratta degli indici Derivata covariante Trasporto parallelo Curvatura Proprietà del tensore di Riemann Teoria U Geometria di Einstein-Cartan Equazioni di campo della teoria U Conseguenze della teoria U Una nuova interazione di contatto Ulteriori conseguenze Conclusioni 52 Bibliografia 53 4 Capitolo 1 Introduzione 1.1 Introduzione alla Relatività La Relatività Generale nasce dal desiderio dell uomo di conoscere sempre meglio lo spazio in cui è ospitato e di estendere i propri confini; ogni manuale che ne tratti in modo approfondito offre la possibilità di effettuare viaggi interstellari, viaggi teorici naturalmente. La teoria della Relatività Generale (d ora in poi verrà chiamata solo GR dall inglese General Relativity) è stata formulata da Albert Einstein nel primo quarto del 900. Grazie ad essa abbiamo una profonda revisione dei concetti di Spazio e Tempo e una nuova teoria della gravitazione che sorge direttamente da nuove proprietà geometriche del nostro Universo. Nel corso dell evoluzione scientifica geometria e fisica sono sempre rimaste intimamente legate, affrontando questo lavoro però il legame diviene sempre più illuminante fino a svelare in che modo la natura stessa operi. Un primo importante passo in avanti è stato intrapreso con la teoria della Relatività Speciale, sempre di Einstein, in cui allo spazio Euclideo della meccanica newtoniana è stato sostituito lo spaziotempo di Minkowski, entrambi caratterizzati da una geometria piatta (euclidea) ma con metriche 1 differenti. Dotando poi lo spaziotempo di Minkowski di una curvatura e di caratteristiche dinamiche giungiamo alla GR e ad allo spaziotempo di Riemann. In questo modo si delinea l evoluzione geometrica del nostro spazio sottesa dall intero lavoro di Einstein. Spesso la GR richiama l attenzione anche di persone esterne al mondo della fisica ma appare difficile e folle allo stesso tempo, da un lato spaventa il formalismo matematico adottato per scrivere le equazioni (geometria differenziale) e dall altro penso che rifiutare il tutto sia senz altro più semplice che digerire questi nuovi concetti e idee; affidandoci alla teoria di Einstein scopriamo infatti che i nostri concetti di spazio e di tempo derivanti dall esperienza quotidiana siano solamente delle approssimazioni poiché abbiamo sempre a che fare con velocità molto più piccole rispetto a quella della luce, che gioca un ruolo cruciale nella teoria della relatività. Proverò a semplificare il più possibile non essendo il tema centrale del presente lavoro e per farlo la mia idea è quella di sfruttare fin da subito la geometria per mostrare come utilizzare la fisica per caratterizzarla e come questa caratterizzazione sveli qualcosa di nuovo e profondo sul linguaggio della natura. In questo modo l intero lavoro di Einstein è visto come una semplice evoluzione dello spazio fisico. 1 Per il concetto di metrica si rimanda al capitolo 3 dedicato alle nozioni essenziali di geometria differenziale, per il momento basti sapere che è uno strumento matematico che ci permette di definire la nozione di lunghezza. 5 6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 1.2 Da Spazio e Tempo a Spaziotempo metrico Come anticipato nell introduzione le difficoltà maggiori nella comprensione della teoria della relatività speciale e generale nascono dal fatto che un gran numero di nostre assunzioni sulla natura dello spazio e del tempo sono sbagliate o quantomeno approssimate. Penso che un approccio geometrico sia molto efficace possa servire a semplificare. La geometria, brevemente, è una branca della matematica che si occupa di studiare le proprietà metriche delle figure geometriche. Anch essa ha avuto nel corso della storia un grande sviluppo ma lo scopo fondamentale è rimasto quello di calcolare aree e volumi delle figure partendo da nozioni primarie quali la lunghezza di un segmento e l angolo tra due linee che si incontrano in un dato punto; ciò che è cambiato nel corso della sua evoluzione è il metodo di studio come apparirà chiaro quando affronteremo la geometria differenziale. Andiamo per gradi, i concetti geometrici fondamentali sono [8]: 1. la geometria è costruita in uno spazio costituito da punti; 2. in tale spazio si introducono coordinate cartesiane x 1... x n tali che: a punti distinti corrispondono coordinate diverse e con ciò, dati due punti P = (x 1,..., x n ) e Q = (y 1,..., y n ) qualsiasi, P e Q coincidono se e solo se x i = y i con i = 1,..., n; inversamente ad ogni collezione di coordinate corrisponde un solo punto dello spazio. Uno spazio con coordinate cartesiane con le proprietà elencate è chiamato Spazio Cartesiano di dimensione n ed è identificato con R n, dove n rappresenta la dimensione dello spazio. Ad esempio identifichiamo con R 1 la retta numerica reale, con R 2 il piano (spazio bidimensionale) e con R 3 lo spazio ordinario chiamato anche spazio Euclideo (E 3 ) per sottolineare che in esso si opera utilizzando la geometria euclidea ovvero la geometria elementare nota fin dalla scuola secondaria. I due concetti geometrici fondamentali assumono un ruolo centrale anche nella descrizione di un fenomeno fisico ai quali se ne aggiunge subito un terzo; in ambito fisico sono chiamati rispettivamente: 1. oggetto; 2. osservatore, sistema di riferimento (s.d.r.) 3. legge di trasformazione. Il terzo punto è utile per poter studiare lo stesso oggetto da un sistema di riferimento differente ed esprime l omogeneità che, assieme all isotropia, rappresenta una proprietà irrinunciabile del nostro spazio. Insieme ci dicono che le leggi fisiche non dipendono dal punto scelto come origine del nostro sistema né da una direzione specifica. Geometricamente l osservatore è proprio un sistema di riferimento cartesiano mentre fisicamente è un apparato di misura utilizzato per localizzare oggetti nello spazio. Sviluppo scientifico e progresso tecnologico sono andate di pari passo negli anni descrivendo in modo sempre più accurato l oggetto e misurandone l interazione con l osservatore durante il processo di misura. L esperienza ci mostra che esistono s.d.r. detti inerziali in cui vale il Principio di Relatività che afferma che le leggi fisiche sono invarianti rispetto ad un cambiamento di s.d.r. inerziale. Così tali s.d.r. permettono di descrivere compiutamente il moto di oggetti non soggetti a forze esterne, per i quali vale allora la legge d inerzia. Vediamo ora come spazio e tempo intervengono nella meccanica classica; tenterò con una banale metafora. 1.2. DA SPAZIO E TEMPO A SPAZIOTEMPO METRICO 7 Tutti siamo stati almeno una volta a teatro, c è un palcoscenico su cui verrà allestito uno spettacolo e ci sono numerose poltrone su cui sedersi comodi per poterselo gustare. Le poltrone sono disposte in modo da occupare quasi la totalità della sala, a distanze e angolazioni diverse rispetto ad un punto qualsiasi del palco. Lo spettacolo è di certo lo stesso per tutti i presenti nel pubblico ma a seconda del posto a sedere trovato la nostra attenzione potrebbe essersi soffermata su alcuni particolari piuttosto che altri, della scenografia e degli attori, magari si è trovato posto così lontano che non si è riuscito a vedere e capire nulla o viceversa ci si ritiene fortunati e avvantaggiati nella comprensione della storia se si è trovato posto nelle poltrone delle prime file in posizione centrale rispetto al palcoscenico; a fine serata comunque tutti potranno discutere del medesimo spettacolo e saranno pressoché d accordo sulla sua trama. Il palcoscenico è lo spazio, lo spettacolo è l oggetto da studiare e su ognuna di quelle poltrone ha trovato posto un fisico classico che sedendosi ha fissato il proprio sistema di riferimento. E il tempo? Beh ignorando tutti i circa 14 Ga (Giga anni=10 9 anni) trascorsi dalla nascita dell universo all inizio dello spettacolo ognuno dei presenti concorderà sul fatto che lo spettacolo è durato un certo t, intervallo di tempo trovato sottraendo al tempo indicato sull orologio a fine spettacolo l orario del suo inizio; avere una diversa marca di orologio, un diverso fusorario o magari avere segnata proprio una diversa ora sul proprio quadrante non incide sul calcolo dell intervallo temporale che rappresenta classicamente una grandezza assoluta, quindi indipendente dall osservatore. Questa invarianza assume un ruolo cruciale per la simultaneità. Dato che tutti i sistemi di riferimento concordano sul valore di t se per un certo osservatore O si ha t = 0, ovvero i due eventi sono simultanei, avvengono nello stesso istante di tempo, ogni altro osservatore O concorderà con il primo e troverà t = 0. Quindi il carattere assoluto della simultaneità nella meccanica newtoniana nasce proprio dall assolutezza dell intervallo temporale che sottende anche la legge della conservazione dell energia meccanica. Riassumendo, il tempo è visto come un grande orologio partito a contare i secondi subito dopo il Big Bang, una unica direzione in cui la porzione minima di tempo, l istante, ha la stessa durata per tutti gli osservatori; geometricamente è un insieme ordinato di infiniti elementi, rappresentabile quindi con R 1. Lo spazio invece è proprio un palcoscenico in cui si inseriscono le particelle e prendono vita i fenomeni che studiamo; geometricamente lo rappresentiamo, come già anticipato, con R 3 o E 3 ed è funzionale ai punti che lo occupano, senza punti perde quasi di utilità, così come un palcoscenico di un teatro chiuso. Classicamente un secondo invariante assoluto deriva proprio da proprietà dello spazio ed è rappresentata dalla distanza s 2 = n i=1 (x i y i ) 2 tra due punti P = (x 1,..., x n ) e Q = (y 1,..., y n ) chiamato intervallo spaziale o metrica euclidea. Negli ultimi paragrafi ho già inserito la parola evento insieme a quella di punto e oggetto, questo perché è giunta l ora di fornire un carattere relativistico al nostro spazio. Nel seguito non mi riferirò più allo spazio (E 3 ) e nemmeno al tempo (R 1 ) ma allo spaziotempo di Minkowski (M 4 ), un continuo quadridimensionale nel quale lo spazio euclideo è rappresentato da una superficie di livello t = costante. In M 4 vale il Principio di Relatività Speciale di Einstein ottenuto aggiungendo al principio di relatività classico il postulato che c oltre ad essere il modulo della velocità di propagazione della luce nel vuoto è la velocità massima di trasmissione delle interazioni e rappresenta una costante universale. Il suo valore sperimentale è cm/s e per questo la meccanica newtoniana, dove le velocità in gioco sono sempre molto più piccole rispetto a c, rappresenta sempre una ottima approssimazione (e allo stesso modo i concetti prerelativistici di spazio e tempo appaiono corretti). Il nuovo principio di relatività segna il passaggio formale dalla meccanica newtoniana alla Relatività Speciale (SR), il passaggio limite inverso può essere effettuato facendo tendere c all infinito, c. Geometricamente abbiamo abbandonato l oramai toppo elementare E 3 e siamo approdati in M 4 ; ignoriamo per il momento quest ultimo e consideriamo invece R 4, spazio cartesiano a quattro dimensioni, ottenuto aggiungendo una nuova dimensione a E 3 per considerare anche la componente temporale. Ne 8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Figura 1.1: Struttura causale della fisica prerelativistica. studieremo la struttura causale poiché è quella descritta della meccanica newtoniana e mostreremo in seguito cosa cambi imponendo la costanza di c. Manteniamo l idea di un continuo spaziotemporale a quattro dimensioni costituito da eventi, dove ogni evento può essere visto come un punto spaziale ad un certo istante temporale e il processo di evoluzione temporale di un oggetto è descritto da una curva 2 x α (t) detta linea d universo. Per identificare ciascun evento è necessario fornire quattro numeri, le sue coordinate cartesiane, chiamate per il momento t, x, y, z e per farlo è necessario un s.d.r. Dati due eventi distinti dello spaziotempo, diciamo p e q, possono presentarsi tre diverse circostanze 1. Per un osservatore o per un corpo materiale è possibile andare da p a q, quindi si dice che p è nel passato di q; 2. è possibile andare da q e p e si dice allora che p è nel futuro di q; 3. è possibile per un corpo materiale essere presente ad entrambi gli eventi p e q. Nella fisica prerelativistica è assunto che gli eventi del terzo tipo formino uno spazio tridimensionale e definiscano geometricamente la simultaneità già discussa in precedenza. In questo modo si delinea la struttura causale in figura 1.1 in cui il nostro spaziotempo è descritto dall evoluzione temporale di fogli tridimensionali di spazio E 3. Tale visione risulta errata. Introducendo nel nostro spazio i postulati della SR la simultaneità passa dall essere una grandezza assoluta a dipendere strettamente dal moto dell osservatore. La stessa cosa accade all intervallo temporale e a quello spaziale che in SR perdono il carattere invariante rispetto ad un cambio di s.d.r. inerziale e subiscono deformazioni relativistiche dipendenti dalla velocità; una lunghezza in moto è vista accorciarsi se misurata in un s.d.r. a riposo mentre l intervallo temporale appare dilatato rispetto al tempo proprio ovvero rispetto al tempo misurato dall osservatore in moto. Approdiamo ora in M 4 dove l unico invariante assoluto è dato da una combinazione dei due, l Intervallo spaziotemporale I dato da I = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (1.1) che rappresenta la formulazione matematica dell invarianza della velocità della luce. Possiamo riferirci a I come metrica dello spaziotempo e dopo una prima occhiata può sembrare analoga alla metrica euclidea (piatta e definita positiva) ma per la presenza dei segni meno - si spezza subito l analogia e geometricamente si passa da una metrica euclidea ad una pseudoeuclidea. Questa differenza di segno 2 Per il concetto di curva si rimanda ancora una volta al capitolo 3. 1.2. DA SPAZIO E TEMPO A SPAZIOTEMPO METRICO 9 Figura 1.2: Struttura causale della fisica relativistica. permette a I di essere maggiore o minore di zero o nullo specificando rispettivamente un intervallo di tipo tempo, spazio e luce. Tale caratterizzazione risulta inoltre essere assoluta, indipendente dal s.d.r. adottato nello studio del fenomeno preso in considerazione e permette di identificare tre diverse regioni nello spaziotempo che ne definiscono la struttura causale mostrata in figura 1.2 Consideriamo un evento qualunque O come origine delle coordinate del sistema quadridimensionale di assi x, y, z e t anche se graficamente per fissare le idee consideriamo una solo componente spaziale e il tempo, posti su due assi ortogonali. Il moto rettilineo uniforme di una particella che si trova nel punto x = 0 nel tempo t = 0 è rappresentato da una retta passante per l origine e formante con l asse dei tempi un angolo la cui tangente è uguale al modulo della velocità della particella. La propagazione di segnali luminosi è rappresentato quindi dalle diagonali principali che sottendono l angolo massimo con l asse temporale e descrivono quindi graficamente la presenza di c come velocità massima. Quindi tutte le rette rappresentanti il moto di particelle materiali possono trovarsi solo all interno delle regioni aoc e dob. In tutti i punti della prima regione si ha c 2 t 2 x 2 0, e di conseguenza tutti gli intervalli tra un evento di questa regione e O saranno di tipo tempo e tutti gli eventi separati da un intervallo di tipo tempo non possono essere simultanei in alcun s.d.r.. In aggiunta essendo in questa regione t 0 tutti gli eventi di questa regione avvengono dopo O a prescindere dal s.d.r. scelto e per questo possiamo chiamare tale regione futuro assoluto . In modo a
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