Seminar6 Serii f

Description
serii numerice

Please download to get full document.

View again

of 3
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Documents

Publish on:

Views: 0 | Pages: 3

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
  BCD-Aero, 2017—2018, L. Costache & M. Olteanu Notit , e de Adrian Manea Seminar 6S  ,  iruri s  , i serii de funct  , ii 1. S˘a se arate c˘a s , irul de funct , ii  ( f n ) , unde: f n  : R → R ,  f n ( x ) =  1 n  arctan x n converge uniform pe R , dar:   lim n → ∞ f n ( x )   x = 1   =  lim n → ∞ f  n ( 1 ) .Rezultatele difer˘a deoarece s , irul derivatelor nu converge uniform pe R .2. S˘a se studieze convergent , a punctual˘a s , i uniform˘a a s , irului de funct , ii  ( f n ) , cu f n  : [ 0,1  ]  → R ,  f n ( x ) =  nxe − nx 2 .S˘a se arate c˘a:lim n → ∞   10 f n ( x ) dx   =   10 lim n → ∞ f n ( x ) dx .Rezultatul se explic˘a prin faptul c˘a s , irul nu este uniform convergent.De exemplu, pentru  x n  =  1 n  ∈  [ 0,1  ] , avem  f n ( x n )  →  1, dar în general  f n ( x )  →  0 (simplu). 1 Convergent  , a seriilor de funct  , ii Defini¸tie 1.1:  Seria  f n  este  simplu (punctual) convergent˘ a c˘ atre funct , ia  f  dac˘a s , irul sumelor part , iale ( S n ( x )) n  este simplu (punctual) convergent c˘atre  f .Seria este  uniform convergent˘ a c˘ atre funct , ia  f  dac˘a s , irul sumelor part , iale  ( S n ( x )) n  este uniformconvergent c˘atre  f .Seria  f n  este  absolut convergent˘ a  dac˘a seria  | f n |  este simplu convergent˘a.Avem urm˘atoarele teoreme de derivare s , i integrare termen cu termen: Teorem˘a 1.1:  Fie  f n  o serie uniform convergent˘ a de funct , ii continue  f n  : [ a , b  ]  →  R s , i fie  s  suma acesteiserii. Atunci  s  este o funct , ie continu˘ a pe  [ a , b  ] .În plus, avem:   ba s ( x ) dx  =  n  1   ba f n ( x ) dx . Teorem˘a 1.2:  Fie  f n  o serie punctual convergent˘ a de funct , ii de clas˘ a C 1 ([ a , b  ]) , cu suma s  pe  [ a , b  ]  s , i astfelîncît seria derivatelor  f  n  s˘ a fie uniform convergent˘ a. Atunci funct , ia  s  este derivabil˘ a pe  [ a , b  ]  s , i: s  ( x ) =  n  1 f  n ( x ) , ∀ x  ∈  [ a , b  ] .Criteriile de convergent , ˘a pentru serii de funct , ii: Teorem˘a 1.3  (Weierstrass) :  Fie  f n , cu f n  : [ a , b  ]  → R o serie de funct , ii s , i fie  a n  o serie convergent˘ a denumere reale pozitive.Dac˘ a  | f n ( x ) |    a n , ∀ x  ∈  [ a , b  ]  s , i pentru orice  n    N , cu  N  fixat, atunci seria de funct , ii este uniformconvergent˘ a pe  [ a , b  ] . Defini¸tie 1.2:  Funct , iile  f n  se numesc  egal m˘ arginite  dac˘a exist˘a  M  ∈ R , astfel încît  f n   M , ∀ n  ∈ N .1  BCD-Aero, 2017—2018, L. Costache & M. Olteanu Notit , e de Adrian Manea Evident, dac˘a fiecare funct , ie  f i  este m˘arginit˘a de  m  i , putem lua  M  =  max i ( m  i )  s , i avem egalm˘arginirea. Teorem˘a 1.4  (Abel) :  Dac˘ a seria de funct , ii  f n  se poate scrie sub forma  a n  v n , astfel încît seria de funct , ii   v n  este uniform convergent˘ a, iar  ( a n )  este un s , ir monoton de funct , ii egal m˘ arginite, atunci ea este uniformconvergent˘ a. Teorem˘a 1.5  (Dirichlet) :  Dac˘ a seria de funct , ii  f n  se poate scrie sub forma  a n  v n  astfel încît s , irul sume-lor part , iale al seriei   v n  s˘ a fie un s , ir de funct , ii egal m˘ arginite, iar  ( a n ) n  s˘ a fie un s , ir monoton ce convergeuniform c˘ atre 0, atunci ea este uniform convergent˘ a. 1.1 Exercit  , ii 3. S˘a se precizeze convergent , a seriilor de funct , ii:(a)   n 2 √  n ! ( x n + x − n ) , x  ∈  12 ,2  ;(b)   nx 1 + n 5 x 2 , x  ∈ R ;(c)  arctan  2 xx 2 + n 4 , x  ∈ R ;(d)   e −  1 +  1 n  n  ·  cos nxn + 1  ;(e)   12 n  cos ( 3 n x ) , x  ∈ R ;(f)  x n ( 1 − x ) , x  ∈  [ 0,1  ] ;(g)  ( x + n ) 2 n 4  , x  ∈  [ a , b  ] ,0  < a < b ;(h)  ln ( 1 + nx ) nx n  , x >  0;Indicat , ii:(a)  12 n    x n   2 n , deci seria este    n 2 √  n ! ( 2 n +  2 n ) . Ar˘at˘am acum (cu criteriul raportului) c˘a seria numeric˘a rezultat˘a este convergent˘a; (b) G˘asim maximul funct , iei (care este în    1 n 5 ), deci seria va fi uniform s , i absolut convergent˘a, fiindmai mic˘a decît seria convergent˘a   12 n √  n ;(c) Similar cu rat , ionamentul anterior;(d)  e −  1 +  1 n  n  cos nxn + 1    1 +  1 n  n + 1 −  1 +  1 n  n  ·  1 n + 1  <  3 n ( n + 1 ) .Seria numeric˘a rezultat˘a este acum convergent˘a, putînd fi comparat˘a cu o serie armonic˘a. 4. S˘a se studieze convergent , a seriilor de funct , ii s , i s˘a se decid˘a dac˘a se pot deriva termen cu termen (indicat , ie: Weierstrass, comparat , ie cu seria armonic˘a):(a)  n − x , x  ∈ R ;(b)  sin nx   2 n  , x  ∈ R ;(c)   sin nxn ( n + 1 ) , x  ∈ R ;2  BCD-Aero, 2017—2018, L. Costache & M. Olteanu Notit , e de Adrian Manea (d)  (− 1 ) nx 2 + nn 2  , x  ∈ R ;5. Fie seria  nx n + xn 2 + 1  .(a) Pentru ce valori ale lui  x  ∈ R seria converge?(b) S˘a se studieze convergent , a uniform˘a.(c) Se poate deriva seria termen cu termen?6. S˘a se stabileasc˘a natura seriei  ( f n  − f n − 1 ) , dac˘a:(a)  f n  : [ 0,1  ]  → R , f n ( x ) =  nx ( 1 − x ) n , ∀ n  ∈ N ;(b)  f n  : ( 0,1  ]  → R , f n ( x ) =  e nx 1 + e nx , ∀ n  ∈ N .7. S˘a se determine mult , imea de convergent , ˘a pentru urm˘atoarele serii de funct , ii:(a)   1 +  1 n  n   1 − x 1 − 2 x  n , x   =  12 ; (r˘ad˘acin˘a pentru seria valorilor absolute) (b)  (− 1 ) n  1ln n  1 − x 2 1 + x 2  n , x  ∈ R ; (raport)(c)  2 n sin  x 3 n , x  ∈ R ; (comparat , ie cu  23  n )(d)  ln ( 1 + a n ) n x  , a  0; (0  < a <  1 raport,  a  =  1 C,  a >  1 descompunem în dou˘a serii,  a  =  0 C)(e)  sin n xn a  , a  ∈ R . (radical)3
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks