Métodos de Integração: uma discussão do seu ensino com apoio no software Geogebra

Description
Métodos de Integração: uma discussão do seu ensino com apoio no software Geogebra

Please download to get full document.

View again

of 17
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Graphic Art

Publish on:

Views: 0 | Pages: 17

Extension: PDF | Download: 0

Share
Tags
Transcript
  Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, ISSN 2237- 9657, v.2 n.1, pp.05- 21, 2013 5    Métodos de Integração: uma discussão do seu ensino com apoio no software Geogebra    Methods of integration: a discussion of their teaching with support by software Geogebra  _______________________________________________ FRANCISCO REGIS VIEIRA ALVES 1  MARCOS ANTONIO LOPES 2   Resumo  Neste trabalho discutimos algumas técnicas de integração. Tal assunto é tradicionalmente encontrado nos livros de Cálculo Diferencial e Integral. Todavia, o viés predominante nas abordagens dos autores é o de natureza algébrica, com ênfase no raciocínio algorítmico-operacional das atividades propostas. Assim, com arrimo nas  potencialidades do software Geogebra trazemos uma discussão de situações específicas de determinação da integral indefinida e da integral definida, com ênfase na interpretação geométrica dos gráficos da função integranda ( )  f x  e de sua família de  primitivas correspondentes, descritas por ( )  F x K    (com  K IR   ). Nosso objetivo é  proporcionar a identificação dos padrões geométricos atinentes a cada método. Palavras-chave: Métodos de Integração, Geogebra, Ensino. Abstract  In this work, we discuss techniques of integration. This issue is traditionally found in the books of Differential and Integral Calculus. However, the bias in the approach of the authors is the algebraic nature, with emphasis in the algorithmic and operational reasoning of the activities proposed. So, with retaining the potential of the software Geogebra bring a discussion of specific situations to determine the indefinite and definite integrals, with emphasis on geometric interpretation of the corresponding  functions graphs ( )  f x  and its corresponding family of primitives, described by ( )  F x K    (with  K IR   ). Our goal is to provide the identification of the geometric  patterns pertaining to each method. Key-words: Methods of integration, Geogebra, Teaching. 1. Introdução O ensino do Cálculo tem recebido críticas há décadas, pertinentes ao seu caráter excessivamente formalista e predominantemente técnico-manipulatório. Sob a égide deste ultimo caráter, o ensino que compreende as “ técnicas de integração ” , preserva o caráter indefectível dos rituais de ensino escolar, que habituam os estudantes na 1  Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará  –   IFCE- fregis@ifce.edu.br   2  Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará  –   IFCE - marcos.k28@gmail.com   Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, ISSN 2237- 9657, v.2 n.1, pp.05- 21, 2013 6   manipulação/aplicação irrefletida dos conceitos e que tendem a se repetir no ambiente acadêmico.  Neste artigo discutimos o ensino de um tópico  standard   nas disciplinas de Cálculo nos cursos de graduação. O tema envolve o caso do conteúdo conhecido como “ técnicas de integração ” . Assim, a partir de algumas concepções questionáveis registradas nos livros didáticos, oriundas do contexto escolar e, consequentemente, em maior ou em menor escala, que afetam também o ensino na academia, extraímos ensinamentos e possibilidades diferenciadas, com vistas à discussão de algumas das técnicas mais conhecidas, com o auxílio tecnológico.  Neste escrito, a tecnologia pode proporcionar ao estudante a descoberta e a familiarização progressiva com padrões geométricos oriundos dos gráficos das funções integrandas ( )  f x  e de suas respectivas primitivas ( )  F x k    (com k IR  ). Ademais, com a inspeção do comportamento do gráfico, descrevemos um cenário de aprendizagem que permite ao solucionador de problemas a produção de conjecturas, a evolução da intuição, com base em propriedades geométricas e, a posteriori , o confrontamento dos dados, com a aplicação efetiva do método e para a determinação dos limites de validade do mesmo. Deste modo, apresentamos aqui determinadas situações que detêm o potencial de evitar apenas o tratamento algoritmizado, que exige antes uma capacidade de memorização, em detrimento de um entendimento conceitual envolvido. Neste contexto, o papel do algorítmico é radicalizado e assume o papel hegemônico no ensino da Matemática. O problema que se coloca é que algorítmicos, empregados nas “ técnicas de integração ” , resolvem problemas. Cabe observar que, segundo Otte (1991, p. 286), todavia, sua fundamentação maior é o da certeza matemática. Por outro lado, na Historia da Matemática e, de modo particular, na história da evolução do conceito de integral, figuras emblemáticas como Newton, Leibniz, Barrow, Cavallieri, Fermat, Cauchy, etc, que contribuíram com seus esforços diretamente com a evolução para esta noção, não dispunham em seu tempo, de instrumentos que os  possibilitasse a produção de uma descrição do comportamento geométrico de funções e determinados conceitos. Neste sentido, em Hairer & Wanner (2008), registramos inúmeros desenhos e figuras com a preocupação de uma transmissão heurística de suas ideias. 2. Sobre o ensino de Integral e os livros didáticos  Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, ISSN 2237- 9657, v.2 n.1, pp.05- 21, 2013 7   Logo em sua introdução, Lima et al (2001, p. 1) descrevem três componentes essenciais básicos no ensino de Matemática, a saber: Conceituação, Manipulação e Aplicação. Reparemos que, apesar de esta categorização, proposta pelo autor, como aspectos a serem apreciados nos livros didáticos do ensino escolar, tais componentes  podem ser passíveis de análise em qualquer nível de ensino, tanto no escolar, bem como, no contexto do ensino acadêmico.  No sentido de demarcar nosso campo de interesse e discussão, consideremos as seguintes tarefas: (i) Mostre que 22 1 ( ) 1 2 ( )1 ( ) cos ( ) tg x sen xtg x x    ; (ii) Calcular 30 1 1lim  x  x x    ; (iii) Mostre que 1 2 1 1( ) cos( ) ( ) ( ) n n n n sen x dx x sen x sen x dxn n         , para 2 n  . Vamos então, discutir e comparar alguns aspectos operacionais exigidos em cada item anterior. Logo de início, um caráter que se destaca diz respeito ao forte apelo algébrico e condicionado por regras, em cada um deles. Mas, de modo específico, no caso do item (i), deparamos uma situação corriqueira do ensino escolar, destacamos que sem o conhecimento da identidade trigonométrica e da substituição   2 2 cos ( ) 1 ( )  x sen x    operatória adequada, não se consegue êxito na mesma. O caráter da manipulação dos símbolos envolvidos se destaca neste item.  No item (ii), caso o solucionador de problemas não consiga se recordar de determinadas identidades algébricas nominadas de produtos notáveis, dificilmente alcançará êxito nesta tarefa. Neste caso, não conseguimos divisar o principal argumento a ser compreendido e apreendido pelo aprendiz. Se o mesmo diz respeito ao entendimento do comportamento deste limite nas vizinhanças do ponto 0  x   , ou se limita ao emprego de um “artifício” envolvendo um conteúdo do ensino escolar que, na maioria das vezes, produz a resposta, sem, no entanto, atribuir um significado conceitual a mesma. O que pode parecer estranho para o aluno é a evolução de uma falsa concepção, segundo a qual, para todo tipo de limite, podemos no valer de um método algébrico específico que fornece uma resposta e, como consequência, decreta o final do  processo investigativo. Por fim, apesar de exigir a mesma substituição descrita por   2 2 cos ( ) 1 ( )  x sen x   , que conclusões podemos extrair da tarefa (iii)? Que conhecimento real é agregado ao repertório de saberes do estudante quando resolve e verifica a igualdade em (iii)  para valores decrescentes de ‘n’ ? De que maneira a  Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, ISSN 2237- 9657, v.2 n.1, pp.05- 21, 2013 8   aprendizagem de um estudante seria tomada como deficiente, caso o mesmo obtenha êxito na igualdade proposta em (ii) e não manifestasse a mesma performance na expressão 1 2 1 1cos ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) n n n n x dx sen x x x dxn n        ? Questionamentos desta natureza nos conduzem a refletir a respeito dos elementos que buscamos proporcionar o entendimento e a evolução de uma aprendizagem. Entretanto, grosso modo, nessas três situações, costumeiramente, exigimos apenas do caráter manipulatório dos conceitos envolvidos.  Neste sentido, urge que nos apoiemos na própria descrição de Lima et al (2001,  p. 1) quando explica que a Manipulação possui características de caráter essencialmente (mas não exclusivamente) algébrico, está  para o ensino e o aprendizado para a Matemática assim como a prática dos exercícios e escalas musicais está para a Música. A habilidade no manuseio de equações, fórmulas, operações, e construções geométricas elementares, o desenvolvimento de atitudes mentais automáticas, verdadeiros reflexos condicionados, permitem ao usuário da Matemática concentrar sua atenção consciente nos pontos realmente cruciais, sem perder tempo e energia com detalhes. Os últimos trechos indicados acima apontam a possibilidade atinente ao fato de que, a “ economia de tempo ”  em determinadas passagens ou trechos de uma verificação, com base na habilidade sublinhada acima, não garante a consciência e compreensão de cada ação (em situação) ou escolha tomada pelo solucionador de problemas. A análise de Lima et al (2001) compreende, também, algumas coleções de livros escolares que abordam conteúdos de Cálculo. Não obstante, no que se refere a tal intenção didática, os autores acentuam ainda que “na verdade, é bastante difícil escrever   sobre o cálculo para alunos do ensino médio pois a todo momento se corre o risco de cair na intuição demasiada ou na excessiva formalização [...]” (LIMA et al, 2001, p. 135). Chamam-nos atenção, dois elementos colocados em caráter dicotômico por esses autores. De fato, somos concordes com o pensamento expresso no ultimo excerto acima, no que se refere à relevância do equilíbrio entre intuição e o formalismo, todavia, diante do caráter excessivo de um destes componentes, apontamos como mais prejudicial, no contexto do ensino, o excesso de formalismo (e o pensamento estrutural, característico do formalismo (CHOQUET, 1963)), uma vez que, ao lidarmos, de modo consciente, com a intuição, os aprendentes podem experimentar situações semelhantes às que foram  Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, ISSN 2237- 9657, v.2 n.1, pp.05- 21, 2013 9   vicenciadas pelos precursores do Cálculo nos momentos de sua gênese. Ademais, nessas ocasiões, não dispunham da certeza matemática como justificativa para suas escolhas. Mas, não temos aqui a intenção de prolongar a incursão no campo da História da Matemática. Nosso interesse volta-se aos conceitos da integral indefinida  e da integral definida , presentes na discussão de grande parte dos livros de História da Matemática (BELL, 1945; BOYER, 1959; EDWARDS, 1979; KLINE, 1972; HAIRER, E. & WANNER, 2008). Vale observar que a noção de integral definida  é registrada nos trabalhos de Cavallieri que, em sua obra intitulada Centuria di varii problemi  (1639) expõe métodos para o cálculo de áreas, com determinada razão (KLINE, 1972, p. 350). Com uma notação moderna e srcem nos métodos de Cavallieri, podemos adotar que 10 1 nan  a x dxn    . Entretanto, como em outros episódios emblemáticos atinentes aos momentos nascedouros do Cálculo, o trabalho de Cavallieri foi criticado pela falta de rigor, e pelo fato de se apoiar no viés intuitivo. A extração de propriedades generalizadas a partir do quadro geométrico, com forte apelo heurístico, é registrada por Gonsalez-Velasco (2011, p. 356) quando pontua que Leibniz, a partir das provas com a quadratura de círculos e hipérboles, extraiu a generalização do que hoje chamamos de integrais do tipo 2 2 a x dx    são chamadas de transcendentais. Hodiernamente, registramos ainda o expediente de autores que se apóiam no sentido metafórico com vista à explicação do processo de integração. Com esta intenção, Lima (2010, p. 322) acentua que “a função ( ) ( )  xa  F x f t dt     chama-se integral indefinida  de  f   . O processo de passar de  f    para  F   melhora, ou am acia as qualidades da função.”. Para exemplificar, o autor fornece o seguinte exemplo :[0,2]  f IR   definida por 0 se 0 1( )1 se 1 t 2 t  f t      . E tomando 0 ( ) ( )  x  F x f t dt    , com 0 se 0 x 1( )1 se 1 x 2  F x x      . Lima (2010, p. 322) conclui este exemplo, do capítulo de apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo - TFC, fornecendo algumas situações em que, obtendo-se a integral indefinida , melhoramos as qualidades da função (ou classe de funções) com que lidamos.
Related Search
Similar documents
View more...
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks