Inducción Matemática

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  Inducci´on Matem´atica Revisi´ on de lo visto en clase  La m´as popular propiedad de los n´umeros naturales ( N  ) es el principio deinducci´on matem´atica. Supongamos que  P  ( x ) significa que x cumple lapropiedad  P  . Entonces el principio de inducci´on matem´atica dice que  P  ( x )es verdadero para todos los n´umeros naturales si:(1)  P  (1) es verdadero(2) Si  P  ( k ) es verdadero, entonces  P  ( k  + 1) tambi´en es verdaderoNote que la condici´on (2) simplemente afirma que  P  ( k +1) es verdadero,bajo la suposici´on de que  P  ( k ) es verdadero; esto es suficiente para compro-bar que  P  ( x ) es verdadero para todo  x , si tambi´en se cumple la condici´on(1). En efecto, si  P  (1) es verdadero, entonces esto quiere decir que  P  (2) esverdadero (usando (2) en el caso en que k=1). Ahora, como  P  (2) es ver-dadero, tambi´en  P  (3) es verdadero (usando (2) en el caso en que k=2). Esclaro que cada n´umero cumplir´a siguiendo los pasos hasta ahora indicados,por lo tanto  P  ( k ) es verdadero para todo n´umero k.Una de las ilustraciones del razonamiento matem´atico es imaginar unal´ınea infinita de personas,persona 1, persona 2, persona 3, ...Si a cada persona se le ha dado la instrucci´on de decir cualquier secreto queescuche a la persona que est´a atr´as suyo (la siguiente con mayor n´umero) y el secreto es dicho a la persona n´umero 1, entonces claramente cada per-sona sabr´a el secreto eventualmente. Si  P  ( x ) es la afirmaci´on que la personan´umero  x  sabe el secreto, entonces la instrucci´on dada (decir cualquier se-creto a la siguiente persona) asegura que la condici´on (2) es verdadera, ydecir el secreto a la persona n´umero uno asegura la condici´on (1). El sigu-iente ejemplo muestra el uso de la inducci´on matem´atica. Existe una ´util y poderosa f´ormula que expresa la suma de los primeros  n  n´umeros en unamanera simple:1 +  ...  +  n  =  n ( n  + 1)2  . Para probar esta f´ormula, nos damos cuenta que es claramente verdaderopara n=1.1 = 1(1 + 1)21  Ahora, asumir que para un n´umero  k  tenemos1 +  ...  +  k  =  k ( k  + 1)2Entonces1 +  ...  +  k  + ( k  + 1) =  k ( k  + 1)2 + ( k  + 1)=  k ( k  + 1) + 2 k  + 22=  k 2 + 3 k  + 22= ( k  + 1)( k  + 2)2por lo tanto la f´ormula es verdadera para  k +1. Por el principio de inducci´onesto prueba la f´ormula para todos los n´umeros naturales  n . Este ejemploparticular ilustra un fen´omeno que frecuentemente ocurre, especialmente conrelaci´on a f´ormulas como la que acabamos de demostrar.2
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