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INTERVALOS DE CONFIANZA EN DOS MUESTRAS ESTADÍSTICA II AUTOR: Rogelio Alvarado Martinez ÍNDICE ÍNDICE     1. INTERVALOS  DE  CONFIANZA  EN  DOS  MUESTRAS   1.1. Introducción   1.2. Diferencia  de  medias  con  varianzas  poblacionales  conocidas   1.3. Diferencia  de  medias  con  varianzas  poblacionales  desconocidas  y  (n1  y  n2  )    30    (con

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  INTERVALOS DE CONFIANZA EN DOS MUESTRAS ESTADÍSTICA II AUTOR: Rogelio Alvarado Martinez  ÍNDICE Acceso rápido Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano y a la Red Ilumno. Por ende, son de uso exclusivo de las Instuciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total o parcial. ÍNDICE 1.   INTERVALOS DE CONFIANZA EN DOS MUESTRAS 1.1.   Introducción 1.2.   Diferencia de medias con varianzas poblacionales conocidas 1.3.   Diferencia de medias con varianzas poblacionales desconocidas y (n1 y n2 ) > 30 (con n1 ≈ n2) 1.4.   Diferencia entre medias de dos poblaciones normales con varianzas poblacionales desconocidas pero iguales y muestras pequeñas (n1 < 30 y n2 <30) 1.5.   Diferencia entre medias de dos poblaciones normales con varianzas poblacionales desconocidas pero iguales y muestras pequeñas (n1 + n2 <30) 1.6.   Intervalo para diferencia de proporciones 1.7.   Diferencia de muestras pareadas DESARROLLO GLOSARIO  REFERENCIAS  4 ESTADÍSTICA II 3  POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 1.   INTERVALOS DE CONFIANZA EN DOS MUESTRAS 1.1.   INTRODUCCIÓN Un problema que es tan importante como la estimación de una sola media poblacional para una población cuantitativa es la comparación de dos medias poblacionales. En forma similar una extensión de la estimación de una proporción para una población cualitativa, es la estimación de la diferencia entre dos proporciones. 1.2.   DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS Un buen estimador puntual para las diferencias de medias, es la diferencia de medias muestrales    − $ . Se cumple que la distribución muestral de la diferencia de medidas es normal con media  & ' (& )  y varianza  & ' (& ) $ . El intervalo de confianza de nivel (1-  ) para la diferencia de medias de dos distribuciones normales de varianzas conocidas es:  =   − $  ± 0/$  $  + $$  $   Ejemplo 1 Se comparan dos procesos de fabricación, los dos procesos tienen distribución normal y con base en registros pasados se determina que las varianzas eran 41,16 y 28,59, respectivamente. Se toman dos muestras, una de 36 artículos de la primera producción y otra de 64 de la segunda obteniendo medias de 75 y 60, respectivamente. Encontrar los límites de confianza del 98% para la diferencia de las medias poblacionales. Solución: n 1 = 36 n 2 = 64    = 75     $  = 60    $ = 41,16    $$ = 28,59  Se ubica el valor de la distribución normal con nivel del 98%, Z= 2,33, (si alguna duda, revisar los ejemplos de la lectura de la semana 3) . El intervalo queda en la forma:  =   −  $  ±  /$  $  + $$  $  (75 – 60) ± 2.33 6459,28 3616,41 +  15 ± 2,33(1,26) 15 + 2,94=17,94 15 - 2,94=12,06 La diferencia de medias está entre 12,06 y 17,94 con una confiabilidad del 98%. Es decir, que en promedio el número de artículos producidos por el primer proceso es superior al del Segundo proceso. Esto porque el intervalo da diferencias positivas. 1.3.   DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS Y (N 1  Y N 2  ) > 30 (CON N 1   ≈  N 2 ) Los valores de las varianzas poblacionales no necesariamente podrán ser conocidos, pero si las muestras son grandes, las varianzas muestrales son generalmente una buena aproximación a las 02 -------  6 ESTADÍSTICA II 5  POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO varianzas poblacionales. Luego, el intervalo de confianza para la diferencia de medias puede aproximarse a:  =   − $  ± /$  $  + $$  $  Este aproximación es válida para muestras grandes. El criterio que usaremos es   + $  > 30  con la condición de que ambos tamaños muestrales   ≈  $   1.4.   DIFERENCIA ENTRE MEDIAS DE DOS POBLACIONES NORMALES CON VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS PERO IGUALES Y MUESTRAS PEQUEÑAS (N 1  < 30 Y N 2 <30) Para muestras pequeñas, y considerando en primer lugar que las dos varianzas poblacionales son iguales  $ =  $$  aunque con valor desconocido. Puede construirse la siguiente variable normal tipificada:  =   − $  −   − $  $  − $$  $  El intervalo de confianza de nivel 1−  para la diferencia de medidas de dos poblaciones normales de varianza desconocidas pero iguales es:  =   − $  ± $,D ' ED ) ($  F  ∙1 +1 $  En esta expresión t tiene distribución t Student   con (n 1 +n 2 -2) grados de libertad. Y la desviación estándar S p : 2)1()1( 21222211 − + − + − = nnS nS n S   p   1.5.   DIFERENCIA ENTRE MEDIAS DE DOS POBLACIONES NORMALES CON VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS PERO IGUALES Y MUESTRAS PEQUEÑAS (N 1  + N 2 <30) Cuando las varianzas de las poblaciones son desconocidas y las varianzas poblacionales son diferentes para muestras pequeñas, se podrá asumir un estadístico equivalente:  =   − $  −      − $  $  + $$  $  Se trabaja con las varianzas en la muestra, este estadístico sigue aproximadamente una distribución t de Student   con  f   grados de libertad, donde f es el entero más próximo a la aproximación de Welch:   = $  + $$  $$  $  $   +1+ $$  $$  $  +1−2  Por lo tanto, el intervalo de confianza de nivel 1−  para la diferencia de medias de dos poblaciones normales de varianzas desconocidas es:  =   − $  ± 0$,I  ∙ $  + $$  $  
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