коло і круг: готуємося до екзамену - PDF

Description
бібліотечка фізико-математичної школи Д.Т. Белешко коло і круг: готуємося до екзамену Навчальний посібник ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН ББК.я7 Б43 Б43 Серію «Бібліотечка фізико-математичної школи» засновано

Please download to get full document.

View again

of 9
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

History

Publish on:

Views: 3 | Pages: 9

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
бібліотечка фізико-математичної школи Д.Т. Белешко коло і круг: готуємося до екзамену Навчальний посібник ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН ББК.я7 Б43 Б43 Серію «Бібліотечка фізико-математичної школи» засновано 00 року Рецензенти: Джунь Й.В. доктор фізико-математичних наук, професор кафедри математичного моделювання Міжнародного економіко-гуманітарного університету ім. академіка С. Дем янчука, дійсний член Міжнародної педагогічної академії Власюк А.П. доктор технічних наук, професор, декан факультету прикладної математики та комп ютерно-інтегрованих систем НУ ВГП Бомба А.Я. доктор технічних наук, кандидат фізико-математичних наук, професор кафедри інформатики та прикладної математики РДГУ Пекарська Л.В. завідувач кабінету математики Рівненського ОІППО Рекомендовано до друку кафедрою математики та методики її викладання Рівненського державного гуманітарного університету (протокол 0 від 0 квітня 0 р.) Белешко Д.Т. Коло і круг: готуємося до екзамену: Навч. пос. Тернопіль: Навчальна книга Богдан, с. ISBN У посібнику розглянуто задачі з теми «Коло і круг» та систематизовано методи їхнього розв язання з виділенням типових прикладів і прийомів, що дозволяє учням та абітурієнтам набути практичних навичок і сформувати певні алгоритми розв язування подібних задач. Для закріплення і глибшого засвоєння матеріалу наприкінці кожного параграфа подані вправи для самостійної роботи, а також відповіді до них. Підсумовує викладене тест із 4 завдань. Посібник розрахований на учнів загальноосвітніх шкіл та студентів математичних факультетів педагогічних університетів. ББК.я7 ISBN (серія) ISBN Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва Навчальна книга Богдан, майнові права, 03 Вступ Звідки походить слово «коло»? Воно суто українське. Російські мовознавці спеціально досліджували його походження і дійшли такого висновку: «Колесо (в значении круг) передача средствами русского языка украинского научного термина коло. Этот украинизм имел широкое хождение в средневековой научной литературе, в рукописях южных и юго-западных и преемственно использован Магницким и Поликарповым, выучениками Славяно-греко-латинской академии, где были очень сильны элементы южнорусской образованности» (Л.Л.Кутина. Формирование языка русской науки. М. Л.: Наука, 964. С. 47). У російській науковій літературі початку XVIII ст. круг називали: циркуль, обруч, округлость, окружие, колесо; коло округ, окружение, циркумференция, периферия, периметр. В «Арифметиці» Магницького читаємо: «Через центр колесе линию проведи яже нарицается мередиана» (Через центр кола відрізок проведи, який називається діаметром). В інших давніх книжках сучасне поняття радіус називалося словами: полупоперечник, полудіаметр, семидіаметр та ін. Оскільки коло і пов язаний із ним круг одні з основних плоских фігур у геометрії і вони найпростіші для опису і побудови, то природно, що вони набули широкого застосування в техніці, будівництві, ужитковому мистецтві тощо. Задачі, пов язані з використанням кола і круга, отже, досить різноманітні і потребують для свого розв язання певних типових прийомів і методів, опис і систематизація яких і є якраз метою даного посібника. Пропонований посібник складається з 9 розділів. У першому параграфі розглянуті задачі, які пов язані з колом і розв язування яких зводиться до розв язування трикутника. При цьому використовуються специфічні властивості кола. У параграфі подані метричні співвідношення в колі, які допомагають спростити розв язування задач. У параграфі 3 розглянуті типові прийоми застосування координатного методу до розв язування задач даного типу. У параграфі 4 розглянуті задачі на вписані і описані кола по відношенню до трикутника, нагадані деякі теоретичні відомості. 4 Вступ У параграфі 5 пропонуються задачі на доведення, оскільки за змістом і способами розв язування такі задачі досить різноманітні, і вказати якийсь загальний метод тут неможливо, то ми обмежуємось декількома типовими прикладами. У параграфі 6 розглянуто описані і вписані чотирикутники. Оскільки на відміну від трикутника, у загальному випадку, неможливо навколо них описати коло і в них вписати коло, то розглядаються теореми, які вказують умови, при яких це можна зробити. У параграфі 7 розглянуті задачі на обчислення площ криволінійних фігур. У параграфі 8 розглянуті задачі на побудову, пов язані з колом, наведено декілька типових прикладів. У дев ятому параграфі розглянуто допоміжне коло. Розв язування багатьох геометричних задач значно спрощується, якщо здогадатись провести вдало допоміжну побудову. Мета такої побудови встановлення тісного зв язку з даними в умові елементами і елементами, що потребують визначення. Допоміжними можуть бути: відрізки, кути, трикутники і т.ін. Дуже ефективним є проведення допоміжного кола. Розглянуто типові приклади. Для закріплення і глибшого засвоєння параграфа подані вправи для самостійної роботи, а також відповіді до них. Підсумовує викладене тест із 4 завдань.. Зведення задачі, пов язаної з колом, до розв язування трикутника Велика кількість задач, пов язаних з колом (або кругом), зводиться до задачі розв язування трикутника. При цьому, звичайно, використовуються специфічні властивості кола. Зокрема:. Діаметр, що ділить хорду кола навпіл, є перпендикуляром до хорди.. Рівні хорди кола однаково віддалені від центра кола (і навпаки). 3. Якщо два кола дотикаються, то точка дотику лежить на лінії центрів кіл. 4. Якщо два кола перетинаються, то їхня спільна хорда перпендикулярна до лінії центрів і ділиться лінією центрів навпіл. 5. Центральний кут вимірюється дугою, на яку він спирається. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. Приклад.. Два кола з радіусами R і r дотикаються зовнішнім чином. Визначити довжину відрізка спільної зовнішньої дотичної до цих кіл. Розв язання. За умовою, OA = ROA, AB, OB = r, OB AB, OO = R+ r (рис. ). Потрібно визначити АВ. Проведемо OK AB, тоді OK = AB. З прямокутного трикутника OO K маємо: OK= OO OK = R+ r R r Rr ( ) ( ) =. Приклад.. Два кола з радіусом r дотикаються. Крім того, кожне з них дотикається зовні третього кола з радіусом R у точках А і В відповідно. Обчислити радіус r, якщо АВ =, R = 8. 6 5. Задачі на доведення 5. Задачі на доведення 7 Приклад 5.. Навколо гострокутного трикутника АВС описано коло з центром О. Нехай AD висота трикутника. Довести, що CAD = BAO. Розв язання. Продовжимо АО до перетину з колом у точці K, тоді АK діаметр, а тому АВK = 90 (рис. 37). АСВ = АKВ (вписані і спираються на одну і ту ж дугу). З прямокутних трикутників ADC і ABK знайдемо, що CAD = 90 ACB, BAO = 90 AKB. Звідси і випливає, що CAD = BAO. Приклад 5.3. Через точку А кола з центром О проведено хорду АВ, а через точку В дотичну. Діаметр, перпендикулярний до радіуса ОА, перетинає дотичну і хорду (або її продовження) відповідно в точках С і D. Довести, що ΔBCD рівнобедрений. Розв язання. CBD = MBA = 90 ABO, BDC = BDO = 90 DAO = 90 ABO (рис. 38). Отже, CDB = BDC, тобто ΔBDC рівнобедрений. Приклад 5.4. Нехай S площа трикутника АВС, Q площа трикутника, вершини якого є точками дотику вписаного в ΔАВС кола (рис. 39). Довести, що Q r =, де R і r відповідно S R радіуси описаного і вписаного в ΔАВС кіл. Розв язання. Q = S DEF = r sin DOE + r sin EOF + + r sin FOD = r (sin( 80 B) + sin( 80 C) + + sin( 80 A)) = r ( sina+ sin B+ sin C). Але, за теоремою синусів, sin A = BC, sin B = AC, sinc = AB (рис. 39). R R R BC + AC + AB r p r p Тому Q = r = = AB BC AC = = = R, звідки sinc sin A sin B r pr rs = =. 4R R R R R Отже, Q = rs, звідки Q r =. R S R Приклад 5.5. Центр кола О сполучений з точкою С, що лежить на да- ній хорді АВ. Довести, що OC + AC BC = R, де R радіус кола. Розв язання. Проведемо відрізок ОС до перетину з колом у точках D, E (рис. 40). Одержимо діаметр DE. За властивістю хорд (теорема, ) маємо: AC CB = DC CE. Але DC = OD OC = R OC, CE = OC + OE = R+ OC. Отже, AC CB = R OC R OC R OC. ( )( + ) = Звідси OC + AC CB = R, що і потрібно було довести. Приклад 5.6. У квадрат вписане коло. Довести, що сума квадратів відстаней від точки кола до вершин квадрата не залежить від вибору точки на колі. Знайти цю суму. Розв язання. Застосуємо координатний метод. Вибір системи координат зрозумілий з рисунка. Нехай сторона квадрата а, М(х; у) довільна (біжуча) точка кола, тоді рівняння кола має вигляд: x + y = a, а координати вершин такі: A( a; a), B( a; a), C( a; a), D( a; a) (рис. 4). Підрахуємо квадрати відстаней від точки М до ( ) + ( + ), ( ) + ( + ), MC = ( x a) + ( y a), ( ) + ( ). Шукана сума дорівнює MA MB MC вершин квадрата: MA = x + a y a MB = x a y a MD = x + a y a + MD = 4 x + y + a a 3 AB ( ) = =. Як бачимо, вона справді не залежить від x, y, тобто від вибору точки М. 8 5. Задачі на доведення Вправи. Два кола зовнішньо дотикаються в точці А. До них проведено спільно дотичну ВС (В і С точки дотику). Довести, що кут ВАС прямий.. Нехай АВ діаметр кола, С і D довільні точки на колі, а E, F точки перетину прямих АС і BD та AD і ВС відповідно. Довести, що прямі АВ і EF перпендикулярні. 3. Через кінці діаметра АВ кола проведені хорди АС і BD, які перетинаються в точці Р. Довести, що AB = AC AP + BD BP. 4. Нехай h a, h b, h c висоти трикутника, r радіус вписаного кола. Довести, що + + =. ha hb hc r 5. Довести, що в будь-якому колі сума квадратів відрізків перпендикулярних хорд, що перетинаються, дорівнює квадрату діаметра. 6. Нехай у прямокутному трикутнику з катетами а, b і гіпотенузою a+ b c с радіус вписаного кола дорівнює r. Довести, що r =. 6. Описані і вписані чотирикутники Якщо дано довільний чотирикутник ABCD, то, на відміну від трикутника, в загальному випадку неможливо навколо чотирикутника описати коло і в нього вписати коло. Наступні дві теореми вказують умови, при яких це можна зробити. Теорема. Навколо опуклого чотирикутника ABCD тоді і тільки тоді можна описати коло, якщо суми протилежних кутів цього чотирикутника дорівнюють по 80, тобто А + С = В + + D = 80. При цьому, якщо O центр описаного кола, то ОА = ОВ = ОС = ОD = R (R радіус описаного кола), а перпендикуляри OE, OF, OK, OM до сторін чотирикутника є серединними перпендикулярами цих сторін (рис. 4). З теореми безпосередньо випливає, що серед паралелограмів лише навколо прямокутників можна описати коло, а серед трапецій лише навколо рівнобедрених трапецій. Якщо потрібно обчислити радіус описаного навколо чотирикутника ABCD кола (рис. 43), то часто корисно взяти до уваги, що це коло є одночасно описаним навколо трикутника АВD (або трикутників ABC, BCD і т.д.), тому задачу можна звести до задач, розглянутих у 4. Теорема. В опуклий чотирикутник ABCD тоді і тільки тоді можна вписати коло, якщо суми протилежних сторін цього чо- 4 9. Допоміжне коло 9. Допоміжне коло 43 мо: ABC = AEC (як вписані кути, що спираються на одну або рівні дуги) і BCD = ACE. Тому ΔACE BCD, звідки випливає l + x a =, b l l = ab lx. Але, якщо розглянути хорди АВ і СЕ, що перетинаються в точці D, то одержимо lx = mn, отже l = ab mn, що і потрібно було довести. Приклад 9.3. Дано довільний тупокутний трикутник АВС (з тупим кутом В). Точки В і С основи висот цього трикутника, що проведені відповідно з вершин В і С, точка М точка перетину прямих В С і ВС. Площа якого з трикутників більша: ΔВ МС чи ΔВМС? BC =. Але BC BC (чому?), отже, BC S S. Розв язання. Навколо чотирикутника ВВ СС можна описати коло (чому?) (рис. 64). Це і буде нашою допоміжною побудовою. Тепер розглянемо два трикутники ΔВ МС і ΔВСМ. У них BMC = BMC і BCM = BCB = BCB = BCM. Це означає, що ΔВ МС ΔВ МС і тому S S BMC BMC BMC BMC Приклад 9.4. На площині дано три паралельні прямі a, b, c (рис. 65). Побудувати
Related Search
Similar documents
View more...
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks