Ani matematika si nemôže by istá sama sebou - PDF

Description
Úvod 7 Pavol Zlatoš Úvod Ani matematika si nemôže by istá sama sebou Úvahy o množinách nekonečne paradoxoch a Gödelových vetách V celých dejinách matematiky nenájdeme výsledok, ktorý by našimi predstavami

Please download to get full document.

View again

of 10
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Lifestyle

Publish on:

Views: 17 | Pages: 10

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
Úvod 7 Pavol Zlatoš Úvod Ani matematika si nemôže by istá sama sebou Úvahy o množinách nekonečne paradoxoch a Gödelových vetách V celých dejinách matematiky nenájdeme výsledok, ktorý by našimi predstavami o možnostiach udského poznania o- triasol spôsobom porovnate ným s účinkom Gödelových viet o neúplnosti. Isteže, za nieko ko tisícročí existencie matematiky sme už boli svedkami všeličoho. Napríklad dnes už môžeme len ažko precíti úžas starých Helénov nad objavom nesúmerate nosti strany a uhlopriečky štvorca či pravidelného pä uholníka. A účinok týchto objavov na pytagorejskú vieru o harmónii logu a kozmu založenej na harmónii číselných pomerov môže hádam tak trochu pripomína účinok Gödelových viet. Ve si len uvedomme, že zlatý rez, najkrajší a najdokonalejší z dĺžkových pomerov, je práve pomerom strany a uhlopriečky pravidelného pä uholníka. Sú tu tiež ve ké matematické objavy, ktoré svojím teoretickým prínosom v matematickej prírodovede i užitočnos ou v technických aplikáciách Gödelove výsledky aleko prekoná- 8 Úvod Úvod 9 vajú. Za všetky spomeňme aspoň Leibnizov a Newtonov infinitezimálny počet. Širokej verejnosti je, nepochybne aspoň pod a mena, známejších nieko ko málo otvorených problémov odolávajúcich pokusom o riešenie celé stáročia a predstavujúcich výzvu nielen vedúcim matematickým duchom viacerých epoch, no i zástupom ambicióznych samoukov a amatérov. Ďaleko najznámejšia predstavite ka tejto kategórie Ve ká Fermatova veta ako sa zdá, celkom nedávno našla konečne svojho premožite a. Napokon by sme nemali zabúda na množstvo plodných moderných matematických teórií, dobývajúcich pre matematiku nové územia, umožňujúcich matematizova okruhy javov, ktoré doposia matematizácii úspešne vzdorovali, a vrhajúcich nové svetlo na vz ahy fyziky mikrosveta a globálnych vlastností vesmíru, náhodnosti a determinovanosti, spontánneho vzniku a zmien štruktúr at. Názvy ako teória katastrof, synergetika či teória chaosu už hojne prenikli na verejnos a napriek hurhaju a vlnám senzácií, ktoré ich spočiatku obklopovali, i sprievodu priživujúcich sa šarlatánov našli svoje dôstojné miesto v budove matematiky. Ani jeden zo spomínaných objavov či teórií však udské poznanie vôbec, a matematiku a logiku zvláš, nepostavil tak vyhranene zoči-voči hraniciam ich vlastných možností, žiaden z nich nenaštrbil väčšmi novovekú európsku vieru a dôveru vo všemocnos a univerzálnos vedy a racionality. Spolu s teóriou relativity a kvantovou mechanikou to boli práve Gödelove vety, ktoré si vynútili zásadné prehodnotenie zakorenenej epistemologickej doktríny mechanistického, deterministického a poznate ného sveta vloženého do absolútneho priestoru a času. A o sotvaktorom matematickom objave sa popísalo to ko filozofických úvah. Popri mnohých hlbokých a podnetných myšlienkach a dielach sa však i v tejto oblasti postupne utvorilo, nakopilo a kanonizovalo množstvo rozmanitých klišé, ktoré sa časom premenili na nedoložené, no pohodlné formulky umožňujúce bezpečne kĺza po povrchu problematiky bez obáv z pádu kamsihlbšiedojejjadra. Naša verejnos nemala doteraz možnos oboznámi sa s Gödelovými objavmi, ich pozadím a dôsledkami, a to ani z matematickej stránky, ani v nejakej populárnej podobe. Príslušný titul v slovenskom jazyku, či už pôvodný alebo v preklade, jednoducho nejestvuje. Aj na samotnej Matematicko-fyzikálnej fakulte Univerzity Komenského v Bratislave sa s Gödelovými vetami počas štúdia zoznámi len nepatrný zlomok študentov, i to len viac-menej informatívne a okrajovo. Kniha, ktorú čitate práve dostáva do rúk, si kladie za cie zaplni túto dlhšie už neúnosnú medzeru. Pritom, ako sme už naznačili, ide vlastne hne o medzery tri týkajúce sa matematického, filozofického a popularizačného aspektu celej problematiky. Zaplni aspoň čiastočne každú z nich sú tri úlohy, ktoré si do istej miery protirečia a ktoré nemožno splni bez určitých kompromisov na každej strane. Aby sme mohli pochopi, prečo Gödelove výsledky mali taký alekosiahly účinok, bude potrebné nielen načrtnú atmosféru ich doby a sformulova otázky, na ktoré dali odpove, ale aj oboznámi sa s mnohým, čo im predchádzalo. Preto našu cestu k nim bude nutné zača približne o osemdesiat rokov skôr, v polovici minulého storočia, ke sa začala rodi potreba zjednotenia matematiky na nejakom spoločnom základe a zároveň vy- 10 Úvod Úvod 11 kryštalizúva pojem množiny, ktorý umožnil zača ju postupne napňa. Naše úvahy tak zasadíme do rámca filozofickej problematiky základov matematiky. Tým otvoríme podstatne širší okruh otázok významných aj samých osebe, z ktorých sa však pokúsime vybra len nieko ko čo možno najreprezentatívnejších, navyše úzko súvisiacich s naším pôvodným zámerom. Samotné Gödelove vety, ku ktorým sa takto dostaneme až v záverečnej kapitole, tak budú akýmsi vyvrcholením našej spoločnej púte. K výkladu naznačených otázok môžeme pristúpi z najrozličnejších východísk. Pritom práve vo ba východzieho prístupu rozhodujúcou mierou predurčuje charakter celého výkladu. Rozhoduje totiž o tom, ktoré pojmy, javy a otázky budeme považova za základné a ktoré budeme z nich odvodzova a zdôvodňova ich prostredníctvom, do akých súvislostí ich budeme zasadzova, a taktiež o tom, ktorým z nich budeme priklada prvoradý význam, a ktoré si budeme všíma len okrajovo alebo vôbec nie. Pri inej vo be východzieho prístupu sa môže celá táto hierarchia značne pozmeni, niekedy priam obráti, celkom iné súvislosti môžu vystúpi na povrch, iné javy vyniknú a iné sa ocitnú v ústraní, či celkom vypadnú z hry. Nášmu čitate ovi hodláme ponúknu dve možné východiská. Pri prvom z nich budeme celú problematiku posudzova dôsledne vo svetle vedúcich zámerov teórie množín a nimi tiež necháme vies svoj výklad. Samozrejme, nie je to jediné možné východisko. Vari podstatne hlbší prienik k jadru veci by sa nám mohol podari pri druhom ponúkanom východzom prístupe, založenom na otázke po spôsobe bytia ideálnych matematických objektov a rozličných poňatiach jeho výkladu. Sme si však vedomí, že pri absencii konkrétneho materiálu by sme práve podobnými metafyzickými úvahami mohli hne na začiatku odradi menej filozoficky naladeného čitate a. V tom prípade mu radíme preskoči celú prvú kapitolu a hne po úvode pokračova kapitolou druhou. K vynechanej kapitole sa potom môže vráti, kedyko vek bude ma na to chu. Jednako aspoň akási predbežná predstava o problémoch spojených s porozumením existencii ideálnych matematických objektov a jej výkladom je pre orientáciu čitate a viac než žiadúca. Preto do láskavej pozornosti všetkých našich čitate ov, či sa už rozhodnú prvú kapitolu preskoči alebo pokračova pekne poporiadku, vrelo odporúčame duchaplný Platónom inšpirovaný Dialóg o matematike z takmer rovnomennej knižky ma arského matematika Alfréda Rényiho, ktorá je k dispozícii v slovenskom i českom preklade; ak, pravda, nedá prednos originálu. Ke že naším cie om je výklad zrodu, vývoja a vzájomných vz ahov istého druhu ideí, naša metóda, ktorej podriadime organizáciu textu, má, obrazne povedané, dva rozmery historický a tematický. A pretože mnohé, či už súhlasne alebo polemicky na seba nadväzujúce idey sa neraz vyvíjali časovo paralelne, kým inokedy ich delia pomerne dlhé obdobia, záväzná lineárna štruktúra textu nás núti da zakaždým jednej z uvedených dimenzií prednos a druhú necha zaznie len z pozadia vo forme tematických odbočení, prípadne návratov do minulosti či výletov do budúcnosti. V dôsledku toho niektoré motívy zaznejú s rozličnou nástojčivos ou viackrát v rôznych variáciách a v meniacom sa doprovode. Napríklad čitate, ktorý si zvolí skrátený postup, nájde na miestach, ktoré si to budú 12 Úvod 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov 13 vyžadova, krátke zhrnutie príslušných úvah z prvej kapitoly. K účovým momentom celej knihy sú otázky všeobecného výkladu javu nekonečna. Okrem už tradičných poh adov na filozofickú problematiku nekonečna všeobecne a matematického nekonečna zvláš, predvedieme i niektoré prístupy novšieho dáta, vyplývajúce z matematických výskumov a im predchádzajúcich filozofických štúdií v tzv. alternatívnej teórii množín, rozpracovanej v pomerne nedávnej minulosti československou školou založenou a vedenou Petrom Vopěnkom, ku ktorej istý čas patril i autor tejto knihy. Z filozofického h adiska vychádza tento prístup z fenomenológie Edmunda Husserla a Martina Heideggera. Pri takomto poh ade sa značná čas filozofických otázok (nielen) základov matematiky, ako i spory, ktorých sme v jej histórii boli svedkami, dostáva do celkom iného svetla, dosia netušené súvislosti vystupujú na povrch, kým mnohé tradične do popredia vyzdvihované otázky ustupujú do úzadia. Tak napríklad otázka vz ahu tzv. prirodzeného a absolútneho nekonečna nadobúda rozhodujúci, kým tradične prvoradá otázka vz ahu nekonečna potenciálneho a aktuálneho len druhoradý význam. Autor si považuje za povinnos zdôrazni, že spomínaný prístup mu nepatrí. Naučil sa ho od P. Vopěnku, ktorý objavil plodnos fenomenologickej metódy v matematike a jej filozofii a rozpracoval ju do pozoruhodnej hĺbky vo svojich knihách venovaných dejinám a psychoanalýze geometrie a matematike v alternatívnej teórii množín, kde tiež náležite predviedol, čo všetko je v jej moci. Podobnos, ktorú možno objavi na viacerých miestach spomínaných diel a tejto knihy, teda nie je nijako náhodná. 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov Hoci matematika sa radí k prírodným vedám, výrazne sa od ostatných z nich odlišuje charakterom svojho predmetu. Kým ubovo ná iná prírodná veda skúma, či už bezprostredne alebo sprostredkovane, nejakú oblas javov reálneho sveta, vz ah matematiky k realite je, takpovediac, dvojnásobne sprostredkovaný. Predmet matematiky je ideálny, to znamená, že sa nenachádza priamo v reálnom svete. Matematika si pod a jedných vytvára a pod a iných objavuje svoj vlastný ideálny svet či lepšie povedané svety, a tie potom skúma. Jednou zo základných úloh filozofie matematiky je teda objasni vz ah tohto ideálneho matematického sveta či svetov k svetu reálnemu. Je to vlastne vz ah, ktorý, okrem iného, zakladá možnos aplikácií matematiky. V týchto krátkych úvahách si nekladieme za cie vyčerpávajúcim spôsobom zodpoveda naznačenú otázku. Naopak, sme presvedčení, že na ňu s konečnou platnos ou ani odpoveda nemožno. O to je však dôležitejšie v každom jednotlivom období 14 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov 15 vývoja matematiky klás si ju nanovo a opätovne na ňu h ada odpove. Sná ani netreba zvláš podotýka, že práve rôzne odpovede na túto otázku, spôsoby, akými sa na ňu h adá odpove, no v nemenšej miere aj samotný spôsob kladenia a formulácie tejto otázky, patria k najvýraznejším znakom rôznych etáp vývoja matematiky či rôznych matematických prúdov a škôl. My sa však touto otázkou budeme zaobera len v obmedzenom rozsahu, potrebnom pre účely našich úvah. Dodnes najbežnejší spôsob, akým sa odpove na uvedenú o- tázku h adá, spočíva v nasledujúcej redukcii. Rieši túto otázku naraz pre celú matematiku je, očividne, nad naše sily. No ke že takmer celá súčasná matematika sa opiera o teóriu množín, pokúšame sa ju sformulova a položi najprv v zúženej podobe len pre túto teóriu a pôvodnú otázku na túto jej podotázku redukova. Inak povedané, zodpovednos za zmysel matematiky tak presúvame temer výlučne na plecia teórie množín, podobne ako sme už dávnejšie na ňu presunuli zodpovednos za jej formálnu bezospornos. Predpoklad, že z takto získanej čiastočnej odpovede už dokážeme v konečnom dôsledku vy aži odpove aj na pôvodnú otázku, je istotne ve mi lákavý a z čisto vnútromatematického h adiska nie celkom nepodložený. Žia, je to predpoklad scestný. Jestvuje viacero dôvodov, ktorými možno vysvetli túto jeho scestnos, ba až absurdnos snáh založi aplikácie matematiky na zhode sveta množín s reálnym svetom. Jeden, ktorý tu uvedieme, je celkom banálny. Ide totiž o to, že celý rad matematických teórií zobrazuje, či aspoň pôvodne zobrazoval, nejaký výsek skutočnosti, prípadne nejaký teoretický model inej vedy, pomerne jednoduchým, prirodzeným spôsobom, takže nahliadnu vz ah príslušného matematického modelu a zobrazo- vanej skutočnosti, prípadne inovedného modelu, bolo možné takpovediac bezprostredne. To však už nemusí plati o modeli takejto matematickej teórie v teórii množín. Pri podobnom druhotnom či dokonca tre otnom, často značne umelom a skres ujúcom modelovaní sa vz ah výsledného modelu arealitymôževe mi úspešne zakry, čím sa stráca prirodzené vodidlo, spočívajúce práve v tomto vz ahu. Miesto re- álnych problémov, ktorých skúmaniu mal matematický model pôvodne slúži, sa potom často študujú rôzne špecialitky príslušného množinového modelu. Dovedený až do krajnosti vedie takýto prístup k prerušeniu spojenia medzi matematikou a realitou a napokon k strate reality. Miesto reality potom zaujme podvedome platónsky chápaný svet množín, dovedených na úroveň ontologických súcien. Tým sa však už dostávame k pomerne jemným otázkam, pred ktorými je potrebné uvies nieko ko úvah trochu všeobecnejšieho rázu. Existencia matematických objektov Objekty, ktoré matematika študuje, pobývajú v ideálnom matematickom svete, zatia čo v reálnom svete by sme ich márne h adali. Ideálne matematické objekty teda v obvyklom zmysle tohto slova neexistujú. Napriek tomu o existencii rôznych matematických objektov bežne vyslovujeme množstvo matematických tvrdení. Ich dôležitos a početnos si dokonca vynútila zavedenie zvláštneho symbolu, u ahčujúceho zápis takýchto tvrdení existenčného kvantifikátora. Hne na začiatku našich úvah sme teda dospeli k paradoxu, pod a 16 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov 17 ktorého existenčné matematické tvrdenia tvrdia existenciu, aspoň v bežnom zmysle tohto slova, neexistujúcich objektov. Tento paradox nás upozorňuje na dôležitú skutočnos, že zmysel matematického tvrdenia tvaru existuje X také, že... nieje celkom očividný a nijako ho nemožno rozlúšti len na základe nášho povrchného porozumenia prirodzenému jazyku. Náš vstup do ideálneho matematického sveta tak vedie cez bránu porozumenia existencii, čiže bytiu ideálnych matematických objektov. Cestu do matematického sveta nemôžeme započa nikde inde než vo svete našej každodennej skutočnosti a skúsenosti a túto cestu musí prejs každý sám, hoci nie každému, kto sa na ňu podujme, sa ideálny matematický svet otvorí rovnakou mierou, ba niekomu sa nemusí otvori vôbec. To neznamená, že by si nemohol osvoji i značný objem matematických poznatkov a postupov, dokonca ich aj zručne a úspešne používa, no nazera matematické objekty v ich ideálnej čistote mu zostáva odopreté. Na druhej strane práve osvojovanie si matematických poznatkov a cibrenie zručností v ich používaní vstupu do matematického sveta nevyhnutne predchádza. Cestu, ktorou prenikáme z reálneho do ideálneho (nielen) matematického sveta, nazývame idealizáciou. Túto cestu si môžeme vyklada ako postupne sa otvárajúci a rozjasňujúci poh ad nás, bytostí pripútaných k reálnemu svetu, do sveta ideálneho, v ústrety svetlu, ktoré sa nám rozžína oproti, rozpty ujúc chmáry a rozháňajúc temnoty, odha ujúc nám bytie ideálnych objektov v čoraz plnšej pravde, dokonalosti a čistote a spätne osvet ujúc i náš reálny svet. Ideálny svet sa nám však neotvorí bez nášho pričinenia, často musíme vynaloži značné úsilie, aby sme zahliadli čo i len slabý záblesk onoho svetla, a potom ho, neh adiac na počiatočné tápanie v pološere, odhodlane nasledova, až pokým nezačneme vidie jasne. Môžeme si ju však vyloži aj ako oslepenie žiarou preludu, od ktorého, ak sa nás raz zmocní, sa už len ažko dokážeme odpúta a vráti sa z jeho mámivých výšav spä na pevnú zem. V duchu aristotelovskej tradície, ktorej vplyv v podobných otázkach, hoci nie vždy na prospech veci, kedysi dávno prevládol, sa však spomínaná cesta zvykne redukova na istý druh krokov, v ktorých sa nám po nej neraz prichodí ubera. Tieto jednotlivé kroky potom nazývame stupňami abstrakcie. Práve pri abstrakcii, asi najnápadnejšej a introspekcii najprístupnejšej, ve mi dôležitej, hoci z aleka nie jedinej zložke procesu idealizácie, sa teraz na chví u pristavíme. Začnime poznámkou, že abstrakcia (doslova odňatie, odlúčenie) ako špecifický myšlienkový úkon nie je nejakou výlučnou výsadou matematiky. Práve naopak, ubovo ná vedná disciplína pri skúmaní nejakého spoločenstva objektov reálneho sveta vo ky-nevo ky abstrahuje od celého radu sprievodných javov ukazujúcich sa na tomto spoločenstve, ktoré z h adiska svojich zámerov považuje za nepodstatné. Pritom mnohé takéto zdanlivo nepodstatné javy sa môžu neraz ukáza ako nezanedbate né, takže adekvátnejšie poznanie si už nemôže dovoli od nich abstrahova. Pri matematickej idealizácii, ktorou tvoríme nejaký ideálny objekt z jedného či viacerých objektov reálnych, abstrahujeme predovšetkým od ich dočasnosti, nestálosti a premenlivosti. Bytie matematických objektov je teda nadčasové, stále a nemenné. Pri väčšine idealizácií, napríklad pri odkrývaní ideálnych geometrických objektov, abstrahujeme aj od ich materiál- 18 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov 1. Rôzne poh ady na existenciu matematických objektov 19 nosti (čo napr. pre marxizmus znamená priam od objektívnej existencie) ich reálnych vzorov. (To čiastočne osvet uje pôvod nášho paradoxu.) No nielen to, v klasickej geometrii im priznávame aj akúsi absolútnu tvarovú dokonalos, aká sa nám na nijakom reálnom objekte nemôže ukáza. Tak napríklad ve mi dobre rozumieme, čo mienime zdanlivo protirečivým tvrdením: Dokonalá kružnica v skutočnosti nejestvuje, no matematická kružnica je práve takáto dokonalá kružnica. Pritom sa sotva nájde matematik, ktorý by popieral existenciu kružnice v ideálnom matematickom zmysle, hoci nie každý si je odlišnosti dvoch modov existencie reálnej a ideálnej kružnice plne vedomý. Jednako práve porozumenie uvedenému protirečivému tvrdeniu je akýmsi prvým poodchýleným okienkom do ideálneho geometrického sveta. Skúmaním ideálneho matematického sveta, niekedy i bez prihliadnutia na jeho súvis s reálnym svetom, možno často dospie k pozoruhodným poznatkom, ktoré nám vypovedajú hodneojavochreálnehosveta,prípadneichmôžemenatieto javy úspešne aplikova. Takúto úspešnú aplikáciu si potom vykladáme, aspoň v danej oblasti javov, ako potvrdenie správnosti príslušnej matematickej teórie, a tým aj oprávnenosti idealizácie, ktorá viedla k vytvoreniu jej ideálneho sveta. Môžeme si ju však vyloži aj obrátene. V takom prípade považujeme reálny svet či jeho čas len za nedokonalý, nestály obraz sveta i
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks